Инструменты сайта


§

Вспомогательная страница к разделу ЗАДАЧА ФЕРМА-ТОРРИЧЕЛЛИ И ЕЕ РАЗВИТИЕ

Задачи

1. [1]. Известно, что минимальная длина дерева Штейнера для вершин квадрата с длиной стороны $ 1_{} $ равна $ 1+ \sqrt{3} $. Показать, что в пространстве $ \mathbb R_{}^{n} $ для $ n_{} $-мерного куба с длиной стороны $ 1_{} $ существует дерево Штейнера длины $$ 1 + \frac{2^n-1}{\sqrt{3}} \ . $$

2. Можно ли обобщить численный метод Вайсфельда для задачи поиска стационарных точек кулоновского потенциала? Исследуйте поведение последовательности $$ \{ P^{(k)}=\Phi(P^{(k-1)}) \}_{k\in \mathbb N} \quad npu \quad \Phi(P)=\left(\frac{m_1P_1}{|PP_1|^3}+\dots+\frac{m_KP_K}{|PP_K|^3} \right) \bigg/ \left(\frac{m_1}{|PP_1|^3}+\dots+\frac{m_K}{|PP_K|^3} \right) \ , $$ в зависимости от выбора $ P^{(0)} $.

3. Найти координаты вершин и площадь максимального равностороннего треугольника, описанного вокруг треугольника $ P_{1}P_2P_3 $.

Проверка. Для $ P_1=(1,1),P_2=(3,5),P_3=(7,2) $ координаты вершин искомого треугольника $$ \left(\frac{230-358\sqrt{3}}{229}, \frac{1023-63\sqrt{3}}{229} \right); \left(\frac{4812+529\sqrt{3}}{687}, \frac{3756+269\sqrt{3}}{687} \right) ; \left( \frac{3438+71\sqrt{3}}{687}, \frac{1008-2021\sqrt{3}}{687} \right) ; $$ площадь $ = 41/\sqrt{3}+22 $.

Источники

[1]. Задача E 3321. The American Math. Monthly. 1989, V. 96, N 4.

algebra2/optimiz/distance/torri/problems.txt · Последние изменения: 2020/04/27 12:03 — au