Здесь решается задача о нахождении расстояния от точки до движущегося плоского объекта. Эта задача рассматривается на частном примере движения эллипса по траектории, описываемой рационально параметризируемой (уникурсальной) кривой, т.е. кривой на плоскости, задаваемой параметрически уравнениями $ x= \phi(t), y = \psi(t) $ при $ \phi(t) $ и $ \psi(t) $ — рациональных функциях от параметра $ t $. Фактически, ставится задача нахождения расстояния от точки до семейства эллипсов $ \{ K_t \} $.

Теорема. Квадрат расстояния от точки $ (x_0,y_0) $ до ближайшего эллипса семейства совпадает с минимальным положительным корнем полинома $$ {\mathrm H}(z)= {\mathcal D}_t ( {\mathcal F} (z,t)) \ , $$ где $ {\mathcal F} (z,t) $ — полином из теоремы 1, вычисленный для задачи нахождения расстояния от точки $ (x_0,y_0) $ до эллипса $ K_t $.

Пример. Найти расстояние от точки $ (-10,10) $ до ближайшей точки семейства эллипсов $$ \frac{(x-t)^2}{4}+\frac{(y-t(t-4))^2}{16}=1 \quad npu \quad t \in \mathbb R \ . $$

Решение. Здесь $$ \mathcal F (z,t) = {\scriptstyle 144}\,z^4+(-{\scriptstyle 192}\,t^4+{\scriptstyle 1536}\,t^3+ {\scriptstyle 96}\,t^2-{\scriptstyle 28800}\,t-{\scriptstyle 92160})z^3+ $$ $$ +(-{\scriptstyle 32}\,t^8+{\scriptstyle 512}\,t^7-{\scriptstyle 800}\,t^6+{\scriptstyle 4736}\,t^5-{\scriptstyle 34032}\,t^4-{\scriptstyle 629120}\,t^3+{\scriptstyle 1851520}\,t^2+ $$ $$ +{\scriptstyle 13964800}\,t+{\scriptstyle 22508032})z^2+ $$ $$ +({\scriptstyle 64}\,t^{12}-{\scriptstyle 1536}\,t^{11}+{\scriptstyle 11040}\,t^{10}-{\scriptstyle 7040}\,t^9-{\scriptstyle 199328}\,t^8+{\scriptstyle 668672}\,t^7- $$ $$ -{\scriptstyle 1656320}\,t^6-{\scriptstyle 4314112}\,t^5+ {\scriptstyle 75365760}\,t^4+{\scriptstyle 97172480}\,t^3-{\scriptstyle 956464640}\,t^2- $$ $$ -{\scriptstyle 3009689600}\,t -{\scriptstyle 2863472640})z + $$ $$ + 16(t^8-{\scriptstyle 16}\,t^7+{\scriptstyle 58}\,t^6+{\scriptstyle 248}\,t^5-{\scriptstyle 1215}\,t^4-{\scriptstyle 3608}\,t^3+{\scriptstyle 8920}\,t^2+{\scriptstyle 38560}\,t+{\scriptstyle 40144}) \times $$ $$ \times (t^4-{\scriptstyle 8}\,t^3+{\scriptstyle 160}\,t+{\scriptstyle 484})^2 \ . $$ Дискриминант этого полинома по переменной $ t $¹⁾: $$ \mathcal D_t(\mathcal F (z,t))=z^4(3\,z+{\scriptstyle 16888})^2(9\,z^2-{\scriptstyle 4080}\,z+{\scriptstyle 333376})^2 \times $$ $$ \times ({\scriptstyle 16777216}\,z^{12}-{\scriptstyle 24039653376}\,z^{11}+{\scriptstyle 15135396003840}\,z^{10}-{\scriptstyle 5551772745220096}\,z^9+ $$ $$ +{\scriptstyle 1322366761276505856}\,z^8-{\scriptstyle 215049198876048266976}\,z^7+{\scriptstyle 24423380307243182292153}\,z^6- $$ $$ -{\scriptstyle 1952292050779441220868024}\,z^5+{\scriptstyle 109783307459960901970173936}\,z^4- $$ $$ -{\scriptstyle 4304075084512715479517135104}\,z^3+{\scriptstyle 113714594973157300688449668864}\,z^2- $$ $$ {\scriptstyle 1830069428535779484150176987136}\,z+{\scriptstyle 14265422520155306699255826485248})^3 \times $$ $$ \times ({\scriptstyle 2304}\,z^8-{\scriptstyle 3774720}\,z^7+{\scriptstyle 2645308000}\,z^6-{\scriptstyle 1058624029488}\,z^5 +{\scriptstyle 266900597798217}\,z^4- $$ $$ -{\scriptstyle 42785419475837458}\,z^3+{\scriptstyle 4100511694812810849}\,z^2-{\scriptstyle 202905147887926860744}\,z+ {\scriptstyle 3648597980765724103824}) $$ Минимальный положительный корень последнего сомножителя: $$ z_{\ast}\approx 37.7093356572 \ . $$ Это и есть квадрат искомого расстояния от точки до семейства. Ему соответствует кратный корень полинома $ \mathcal F (z_{\ast},t) $, именно $$ t_{\ast}\approx -1.9680233599 \ . $$ Это значение параметра задает ближайший к точке $ (-10,10) $ эллипс семейства. Действуя в стандартной технике определения ближайшей точки на эллипсе, находим координаты ближайшей точки семейства: $$ x_{\ast}\approx -3.9073855515 , y_{\ast}\approx 10.767714034 \ . $$

Ответ. $ d \approx 6.140792755 $.

Проверка. Задача эквивалентна поиску расстояния от точки $ (-10,10) $ до огибающей семейства эллипсов. Уравнение огибающей: $$ \Phi(x,y)=4\,x^6+x^4y^2-48\,x^5-2\,x^4y-8\,x^3y^2-2\,x^2y^3+169\,x^4+16\,x^3y+8\,xy^3+y^4- $$ $$ -72\,x^3-138\,x^2y+64\,xy^2-2\,y^3-736\,x^2+424\,xy-95\,y^2+1472\,x-384\,y-848=0 $$ $$ \Phi(x_{\ast},y_{\ast})\approx 1.14\times 10^{-5}, \quad \left| \begin{array}{cc} \partial \Phi(x_{\ast},y_{\ast}) /\partial x & \partial \Phi(x_{\ast},y_{\ast}) /\partial y \\ x_0-x_{\ast} & y_0 - y_{\ast} \end{array} \right| \approx -1 \times 10^{-4} \ . $$

[1]. Uteshev A.Yu., Yashina M.V. Metric Problems for Quadrics in Multidimensional Space. J.Symbolic Computation, 2015, Vol. 68, Part I, P. 287-315. Текст ☞ ЗДЕСЬ (pdf)