Основное
Вспомогательная страница к разделу ☞ ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Найти обратную матрицу для матрицы Фробениуса
$$ {\mathfrak F}= \left( \begin{array}{lllllll} 0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \dots& &&&\ddots & & \dots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & & \dots & a_2 & a_1 \end{array} \right)_{n \times n} $$
Ответ. $$ {\mathfrak F}^{-1}= \left( \begin{array}{ccccccc} -a_{n-1}/a_n & -a_{n-2}/a_n & \dots & -a_2/a_n & -a_1/a_n & 1/a_n \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots& &\ddots & & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & 0 \end{array} \right) $$ при условии $ a_n \ne 0 $.
Решение возможно разными способами.
Можно воспользоваться следствием к теореме Фробениуса, слегка модифицировав его. Дело в том, что матрица $ {\mathfrak F} $ имеет блочную структуру вида $$ {\mathfrak F}= \left( \begin{array}{cc} \mathbb O_{(n-1)\times 1} & E_{(n-1)\times (n-1)} \\ a_n & V_{1\times (n-1)} \end{array} \right) \quad npu \quad V=(a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_2, a_1)\ . $$
Можно идти строго по первому методу нахождения обратной матрицы — вычисляя алгебраические дополнения элементов.
И, наконец, можно обратиться к интерпретации обратной матрицы как матрицы замены переменных.