Основное
Вспомогательная страница к разделу ☞ ФУНКЦИЯ ОТ МАТРИЦЫ
Теорема. Если матрицы $ A $ и $ B $ коммутируют, то коммутируют и $ e^{A} $ и $ e^{ B} $: $$ e^{A} e^{B} =e^{B} e^{A}= e^{A+B} \, . $$
Доказательство. Если $ AB=BA $, то $$Be^{A}=B\left( \sum_{j=0}^{\infty} \frac{A^j}{j!} \right) =\sum_{j=0}^{\infty} \frac{BA^j}{j!}= \sum_{j=0}^{\infty} \frac{A^jB}{j!}= \left( \sum_{j=0}^{\infty} \frac{A^j}{j!} \right)B=e^{A}B$$ Аналогично доказывается, что $ B^Ne^{A}=e^{A}B^N $, и $ p(B)e^{A}=e^{A}p(B) $ при любом полиноме $ p(x)\in \mathbb C[x] $. Выбрав в последнем равенстве $$ p(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^N}{N!} $$ и переходя в нем к пределу при $ N\to +\infty $, получаем справедливость первого из равенств (\ref{MATSeRe21}).
Для доказательства второго равенства воспользуемся возможностью почленного перемножения двух абсолютно сходящихся рядов: $$ e^{ A} e^{B}=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{A^j}{j!}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{B^k}{k!}= E+(A+B)+\left(\frac{A^2}{2}+AB+ \frac{B^2}{2}\right)+ $$ $$+\left(\frac{A^3}{3!}+\frac{A^2B}{2!}+ \frac{AB^2}{2!} + \frac{B^3}{3!}\right)+ \left(\frac{A^4}{4!}+\frac{A^3B}{3!}+ \frac{A^2B^2}{2!2!} +\frac{AB^3}{3!} + \frac{B^4}{4!}\right)+\dots+$$ $$+\left(\frac{A^N}{N!} +\frac{A^{N-1}B}{(N-1)!} +\frac{A^{N-2}B^2}{(N-2)!2!}+\dots+ \frac{A^{N-K}B^K}{(N-K)!K!}+\dots+ \frac{AB^{N-1}}{(N-1)!}+\frac{B^N}{N!} \right) +\dots= $$ $$ =E+(A+B)+\frac{1}{2}\left(A^2+2AB+B^2\right)+\frac{1}{3!} \left(A^3+3A^2B+3AB^2+B^3\right)+ $$ $$+\frac{1}{4!} \left(A^4+4A^3B+\frac{4!}{2!2!}A^2B^2+4 A B^3+B^4\right)+\dots+ $$ $$+\frac{1}{N!} \Bigg(A^N +NA^{N-1}B+ \frac{N!}{2!(N-2)!}A^{N-2}B^2+ \dots + \underbrace{\frac{N!}{K!(N-K)!}}_{=C_N^K} A^{N-K} B^K +\dots + B^N \Bigg) + \dots = $$ Ввиду коммутируемости матриц $ A $ и $ B $, каждую из скобок можно свернуть по правилу бинома Ньютона: $$=E+(A+B)+\frac{(A+B)^2}{2}+ \frac{(A+B)^3}{3!}+ \frac{(A+B)^4}{4!}+\dots + \frac{(A+B)^N}{N!}+\dots=e^{A+B}\, . $$ ♦