Вычислить ранг матрицы

$$ \left( \begin{array}{rrrrr} 3 & 4 & -1 &5& -2 \\ 1 & 5 & -2 &3& 4 \\ 2 & -1 & 1 &2& 3 \\ 3 & -7 & 4 &1& -7 \\ 0 & 11 & -5 &4& -4 \end{array} \right). $$

методом окаймляющих миноров.

Для проверки условия $ \mathfrak{r}>0 $ достаточно найти хотя бы один ненулевой элемент матрицы.

$$ \left( \begin{array}{rrrrr} 3 & * & * & * & * \\ * & * & * & * & * \\ * & * & * & * & * \\ * & * & * & * & * \\ * & * & * & * & * \end{array} \right) . $$

Далее, для проверки условия $ \mathfrak{r}>1 $ пытаемся подобрать ненулевой минор второго порядка, окаймляя выбранный минор первого порядка:

$$ \left( \begin{array}{rrrrrr} 3 & 4 & & * &*& * \\ 1 & 5 & & * &*& * \\ * & * & & * &*& * \\ * & * & & * &*& * \\ * & * & & * &*& * \end{array} \right). $$

Из всех окаймляющих этот минор миноров третьего порядка:

$$ \left( \begin{array}{rrrrr} 3 & 4 & -1 &*& * \\ 1 & 5 & -2 &*& * \\ 2 & -1& 1 & * &*\\ * & * & * &*& * \\ * & * & * &*& * \end{array} \right), \ \left( \begin{array}{rrrrr} 3 & 4 & -1 &*& * \\ 1 & 5 & -2 & * & * \\ * & * & * &*& * \\ 3 & 7 &4 &*& * \\ * & * & * &*& * \end{array} \right), \ \left( \begin{array}{rrrrr} 3 & 4 & -1 &*& * \\ 1 & 5 & -2 & * & * \\ * & * & * &*& * \\ * & * & * &*& * \\ 0 & 11 & -5 & * &* \\ \end{array} \right), $$

$$ \left( \begin{array}{rrrrr} 3 & 4 & * &5& * \\ 1 & 5 & * &3& * \\ 2 & -1 & * &2 & * \\ * & * & * &*& * \\ * & * & * &*& * \end{array} \right), \ \left( \begin{array}{rrrrr} 3 & 4 & * &5& * \\ 1 & 5 & * &3& * \\ * & * & * &*& * \\ 3 & -7 & * &1& * \\ * & * & * &*& * \end{array} \right),\ \left( \begin{array}{rrrrr} 3 & 4 & * &5& * \\ 1 & 5 & * &3& * \\ * & * & * &*& * \\ * & * & * &*& * \\ 0 &11 & * & 4& * \\ \end{array} \right), $$

$$ \left( \begin{array}{rrrrr} 3 & 4 & * &*& -2 \\ 1 & 5 & * &*&4 \\ 2 & -1 & * &*& 3 \\ * & * & * & * & * \\ * & * & * & * & * \end{array} \right),\ \left( \begin{array}{rrrrr} 3 & 4 & * &* & -2 \\ 1 & 5 & * &* & 4 \\ * & * & * & *& * \\ 3 & -7 & * &*&-7 \\ * & * & * & * & * \end{array} \right), \ \left( \begin{array}{rrrrr} 3 & 4 & * &*& -2 \\ 1 & 5 & * &*& 4 \\ * & * & * &*& * \\ * & * & * &*& * \\ 0 & 11 & * &*&-4 \\ \end{array} \right) $$

два последних отличны от нуля

Подчеркнем: нас интересовал хотя бы один отличный от нуля минор; если бы нам повезло его угадать сходу, то не нужно было бы вычислять все остальные миноры третьего порядка.

Это означает, что $ \mathfrak{r}\ge 3 $. Окаймляем какой-нибудь из ненулевых миноров третьего порядка. Оказывается, что все 4 минора четвертого порядка равны нулю.

Ранг матрицы равен 3.

¤