Вычислить

$$ \left| \begin{array}{rrrrr} 2 & 2 & 1 & 3 & 4\\ 3 &1 &2 &3 &1\\ 4 & -1 &2 &4 &-2\\ 1 &-1 &1 &1 & 2\\ 4 & -1 & 2 &5 & 6 \end{array} \right| . $$

Будем добиваться появления нулей во втором столбце. С этой целью прибавим вторую строку к третьей, четвертой и пятой, а также вычтем, домножив предварительно на $ 2 $, из первой:

$$ =\left| \begin{array}{rrrrr} -4 & 0 & -3 & -3 & 2\\ 3 &1 &2 &3 &1\\ 7 & 0 &4 &7 &-1\\ 4 & 0 &3 &4 & 3\\ 7 & 0 & 4 &8 & 7 \end{array} \right|= $$

раскладываем по второму столбцу:

$$ =\left| \begin{array}{rrrr} -4 & -3 & -3 & 2\\ 7 & 4 &7 &-1\\ 4 & 3 &4 & 3\\ 7 & 4 &8 & 7 \end{array} \right|= $$

и вот уже порядок понизился. Вычитаем из третьего столбца первый:

$$ =\left| \begin{array}{rrrr} -4 & -3 & 1 & 2\\ 7 & 4 &0 &-1\\ 4 & 3 &0 & 3\\ 7 & 4 &1 & 7 \end{array} \right|= $$

теперь имеет смысл увеличить число нулевых элементов в третьем столбце – вычитаем из четвертой строки первую:

$$ =\left| \begin{array}{rrrr} -4 & -3 & 1 & 2\\ 7 & 4 &0 &-1\\ 4 & 3 &0 & 3\\ 11 & 7 &0 & 5 \end{array} \right|= $$

Раскладываем по третьему столбцу:

$$ =\left| \begin{array}{rrr} 7 & 4 &-1\\ 4 & 3 & 3\\ 11 & 7 & 5 \end{array} \right|= $$

Можно было бы применить теперь формулу разложения определителя третьего порядка, но можно и продолжить упрощения – вычтем из третьей строки первую и вторую:

$$ =\left| \begin{array}{rrr} 7 & 4 &-1\\ 4 & 3 & 3\\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right|= $$

и разложим по третьей строке:

$$ =3\left| \begin{array}{rr} 7 & 4 \\ 4 & 3 \\ \end{array} \right|=3(21-16)=15 . $$

15.

¤