Пусть требуется вычислить

$$ \left( \begin{array}{rrr} 4& 5 &1 \\ 1 & 3 &-2 \\ 3 & 1 & 2 \end{array} \right)^{-1} $$

приписыванием единичной матрицы.

$$ \left(\begin{array}{rrr|rrr} 4& 5 &1&1&0&0\\ 1 & 3 &-2&0&1&0\\ 3 & 1 & 2&0&0&1 \end{array}\right)\to \left(\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 3 &-2&0&1&0\\ 4& 5 &1&1&0&0\\ 3 & 1 & 2&0&0&1 \end{array}\right)\to $$

$$ \to \left(\begin{array}{rrr|rrr} 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-7&9&1&-4&0\\ 0&-8&8&0&-3&1 \end{array}\right)\to \left(\begin{array}{rrr|rrr} 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-8&8&0&-3&1\\ 0&-7&9&1&-4&0 \end{array}\right)\to $$

$$ \to \left(\begin{array}{rrr|rrr} 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-1&1&0&-\frac{3}{8}& \frac{1}{8}\\ 0&-7&9&1&-4&0 \end{array}\right)\to \left(\begin{array}{rrr|rrr} 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-1&1&0&-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\\ 0&0&2&1&-\frac{11}{8}&-\frac{7}{8} \end{array}\right)\to $$

$$ \to \left(\begin{array}{rrr|rrr} 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-1&1&0&-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\\ 0&0&1&\frac{1}{2}&-\frac{11}{16}& -\frac{7}{16} \end{array}\right)\to $$

$$ \to \left(\begin{array}{rrr|rrr} 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-1&0&-\frac{1}{2}&\frac{5}{16}& \frac{9}{16}\\ 0&0&1&\frac{1}{2}&-\frac{11}{16}&-\frac{7}{16} \end{array}\right)\to $$

$$ \to \left(\begin{array}{rrr|rrr} 1&0&0&-\frac{1}{2}&\frac{9}{16}& \frac{13}{16}\\ 0&1&0&\frac{1}{2}&-\frac{5}{16}& -\frac{9}{16}\\ 0&0&1&\frac{1}{2}&-\frac{11}{16}&-\frac{7}{16} \end{array}\right) . $$

$$ \left( \begin{array}{rrr} -\frac{1}{2}&\frac{9}{16}& \frac{13}{16} \\ \frac{1}{2}&-\frac{5}{16}& -\frac{9}{16} \\ \frac{1}{2}&-\frac{11}{16}& -\frac{7}{16} \end{array} \right) $$

¤