Вычислить

$$ \left( \begin{array}{rrrr} 4&7& 1 &5 \\ 3 & 4 & 0 &-6 \\ -11 & 8 & 2 & 9\\ -12 & -10 &0 & 8 \end{array} \right)^{-1} $$

с помощью алгебраических дополнений.

Определитель этой матрицы равен -226. Обратная матрица существует. Вычисляя алгебраические дополнения элементов, строим союзную матрицу:

$$ A_{11}=\left| \begin{array}{rrr} 4 & 0 &-6 \\ 8 & 2 & 9\\ -10 &0 & 8 \end{array} \right|=-56,\ A_{12}=-\left| \begin{array}{rrr} 3 & 0 &-6 \\ -11 & 2 & 9\\ -12 &0 & 8 \end{array} \right|=96,\ $$

$$ A_{13}=\left| \begin{array}{rrr} 3 & 4 &-6 \\ -11 & 8 & 9\\ -12 &-10 & 8 \end{array} \right|=-854,\ A_{14}=-\left| \begin{array}{rrr} 3 & 4 & 0 \\ -11 & 8 & 2 \\ -12 & -10 &0 \end{array} \right|=36, $$

$$ A_{21}=-58,\ A_{22}=164,\ A_{23}=-1506,\ A_{24}=118, \dots, A_{44}=58 . $$

$$ \left( \begin{array}{rrrr} \frac{28}{113} & \frac{29}{113} & -\frac{14}{113} & \frac{20}{113} \\ \\ -\frac{48}{113} & -\frac{82}{113} & \frac{24}{113} & -\frac{117}{226} \\ \\ \frac{427}{113} & \frac{753}{113} & -\frac{157}{113} & \frac{949}{226} \\ \\ -\frac{18}{113} & -\frac{59}{113} & \frac{9}{113} & -\frac{29}{113} \end{array} \right) $$

¤