Пусть требуется найти общее решение и фундаментальную систему решений (ФСР) для системы уравнений

$$ \left\{ \begin{array}{rrrrcl} x_1&-x_2&+x_3&-x_4&=&0, \\ x_1&-x_2&+2x_3&+3x_4&=&0, \\ x_1&-x_2&-x_3&-9x_4&=&0 \end{array} \right. $$

Приводим систему к ступенчатому виду:

$$ \left\{ \begin{array}{rrrrcl} x_1&-x_2&+x_3&-x_4&=&0, \\ &&x_3&+4x_4&=&0 \end{array} \right. $$

В качестве зависимых переменных можно взять, например, $ x_{1} $ и $ x_{3} $.

$$ \begin{array}{cc|cc} x_1 & x_3 & x_2 & x_4 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & -4 & 0 & 1 \end{array} $$

ФСР состоит, например, из решений

$$ x_1=1,x_2=1,x_3=0,x_4=0 \ \mbox{и} \ x_1=5,x_2=0,x_3=-4,x_4=1. $$

Общее решение имеет вид

$$ c_1\left(\begin{array}{c} 1\\1\\0\\ 0 \end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{r} 5\\0\\-4\\1 \end{array}\right), $$

где $ c_{1} $ и $ c_{2} $ – произвольные константы.

¤