Теорема [закон инерции]. Индексы инерции не зависят от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Доказательство. Предположим, что в результате двух подстановок квадратичная форма приведена к каноническим видам: $$ X^{\top}{\mathbf A}X=\left\{ \begin{array}{ll} \alpha_1y_1^2+\dots+\alpha_py_p^2- \alpha_{p+1}y_{p+1}^2-\dots-\alpha_{\mathfrak r}y_{\mathfrak r}^2 & npu \ Y=C_1X,\\ \beta_1z_1^2+\dots+\beta_qz_q^2- \beta_{q+1}z_{q+1}^2-\dots-\beta_{\mathfrak r}z_{\mathfrak r}^2 & npu \ Z=C_2X, \end{array} \right. \quad \det C_j \ne 0 \, . $$ Здесь все $ \{\alpha_j,\beta_j\}_{j=1}^{\mathfrak r} $ положительны, но $ q>p $. Можно подобрать вектор $ X=X_{*}\ne \mathbb O $ так, чтобы у вектора $ Y_{*}=C_1X_{*} $ первые $ p $ компонент, а у вектора $ Z_{*}=C_2X_{*} $ последние $ {\mathfrak r}-q $ компонент обращались в нуль. Действительно, число уравнений для определения $ n $ компонент нужного нам вектора равно $ p+{\mathfrak r}-q={\mathfrak r}-(q-p)<{\mathfrak r}\le n $. Такая система всегда имеет нетривиальное решение $ X_{*} $, при этом соответствующий ему вектор $ Y_{*} $ будет ненулевым (матрица $ C_1 $ — невырожденная). Подстановка $ Y_{*} $ и $ Z_{*} $ в соответствующие канонические виды дает: $$ X_{*}^{\top}{\mathbf A}X_{*}= \left\{ \begin{array}{rl} -\alpha_{p+1}y_{p+1,*}^2-\dots-\alpha_{\mathfrak r}y_{{\mathfrak r},*}^2 & <0 ;\\ \beta_1z_{1,*}^2+\dots+\beta_{q}z_{q,*}^2 & \ge 0 . \end{array} \right. $$ Противоречие доказывает ошибочность предположения $ q>p $. ♦

Пусть квадратичная форма знакопеременна и приводится к двум разным каноническим видам

$$ X^{\top}{\mathbf A}X=\left\{ \begin{array}{ll} \alpha_1y_1^2+\dots+\alpha_py_p^2- \alpha_{p+1}y_{p+1}^2-\dots-\alpha_{\mathfrak r}y_{\mathfrak r}^2 & npu \ Y=C_1X,\\ \beta_1z_1^2+\dots+\beta_pz_p^2- \beta_{p+1}z_{p+1}^2-\dots-\beta_{\mathfrak r}z_{\mathfrak r}^2 & npu \ Z=C_2X, \end{array} \right. \quad \det C_j \ne 0 \, . $$ Здесь все $ \{\alpha_j,\beta_j\}_{j=1}^{\mathfrak r} $ положительны. Доказать, что если при некотором $ X=X_{\ast} $ выполняется $$ y_1=0,\dots, y_{\mathfrak r}=0,z_{p+1}=0,\dots, z_{\mathfrak r}=0 $$ то $ X_{\ast}^{\top}{\mathbf A}X_{\ast} =0 $.