Теорема 1. Рассмотрим определитель матрицы $ n_{} $-го порядка $ A=[a_{ij}]_{i,j=1}^n $. Составим новый определитель из его алгебраических дополнений $ A_{ij} $ к элементам, стоящим на пересечении первых $ k_{} $ строк и первых $ k_{} $ столбцов. Имеет место равенство (тождество) Сильвестра:

$$ \left|\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1k} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2k} \\ \dots & & & \dots \\ A_{k1} & A_{k2} & \dots & A_{kk} \end{array} \right|= (\det A)^{k-1} \left|\begin{array}{llll} a_{k+1,k+1} & a_{k+1,k+2} & \dots & a_{k+1,n} \\ a_{k+2,k+1} & a_{k+2,k+2} & \dots & a_{k+2,n} \\ \dots & & & \dots\\ a_{n,k+1} & a_{n,k+2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right|\ , $$ т.е. новый определитель получается как произведение степени $ \det A_{} $ на минор этого определителя, полученный вычеркиванием первых $ k_{} $ строк и первых $ k_{} $ столбцов.

Доказательство. Составим вспомогательную матрицу $$ B=\left(\begin{array}{ccccccc} A_{11} & \dots & A_{1k} & A_{1,k+1} & A_{1,k+2} & \dots & A_{1n} \\ \dots & & \dots & \dots & & & \dots \\ A_{k1} & \dots & A_{kk} & A_{k,k+1} & A_{k,k+2} & \dots & A_{kn} \\ 0 & \dots & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \dots & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & & \vdots & & & \ddots & \\ 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{array} \right)_{n\times n} \ , $$ определитель которой очевидно равен определителю из левой части тождества. Вычислим $$ \det (A \cdot B^{\top} ) $$ двумя способами. С одной стороны, на основании теоремы Бине-Коши и свойства 1 определителя, этот определитель равен $$ (\det A) \cdot (\det B)\ . $$ С другой стороны, мы можем сначала вычислить произведение матриц, стоящих под знаком определителя. На основании теоремы о сумме произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения к другой строке, это произведение будет равно: $$ \left( \begin{array}{ccccllcl} \det A & 0 & \dots & 0 & a_{1,k+1} & a_{1,k+2} & \dots & a_{1n} \\ 0 & \det A & \dots & 0 & a_{2,k+1} & a_{2,k+2} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots &\vdots & & & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & \det A & a_{k,k+1} & a_{k,k+2} & \dots & a_{kn} \\ 0 & 0 & \dots & 0 & a_{k+1,k+1} & a_{k+1,k+2} & \dots & a_{k+1,n} \\ 0 & 0 & \dots & 0 & a_{k+2,k+1} & a_{k+2,k+2} & \dots & a_{k+2,n} \\ \dots & & & \dots &\dots & & & \dots\\ 0 & 0 & \dots & 0 & a_{n,k+1} & a_{n,k+2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right) \ . $$ Таким образом, получили равенство $$ \det A \cdot \left|\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1k} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2k} \\ \dots & & & \dots \\ A_{k1} & A_{k2} & \dots & A_{kk} \end{array} \right|=\det (A \cdot B^{\top} ) =(\det A)^k \left|\begin{array}{llll} a_{k+1,k+1} & a_{k+1,k+2} & \dots & a_{k+1,n} \\ a_{k+2,k+1} & a_{k+2,k+2} & \dots & a_{k+2,n} \\ \dots & & & \dots\\ a_{n,k+1} & a_{n,k+2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| \ , $$ откуда и следует доказываемое равенство в случае $ \det A \ne 0 $.

Случай $ \det A=0 $ требует более изощренных рассуждений. Введем в рассмотрение параметр $ \lambda_{} $ и рассмотрим новый определитель $$ \det (A-\lambda E ) \ , $$ где $ E_{} $ означает единичную матрицу порядка $ n_{} $.

Применим к этому определителю только что проведенные рассуждения; результатом будет равенство, которое будет зависеть теперь и от параметра: $$ \det (A-\lambda E ) \left|\begin{array}{cccc} A_{11}(\lambda) & A_{12}(\lambda) & \dots & A_{1k}(\lambda) \\ A_{21}(\lambda) & A_{22}(\lambda) & \dots & A_{2k}(\lambda) \\ \dots & & & \dots \\ A_{k1}(\lambda) & A_{k2}(\lambda) & \dots & A_{kk}(\lambda) \end{array} \right|=(\det (A-\lambda E ))^k \left|\begin{array}{cccc} a_{k+1,k+1}-\lambda & a_{k+1,k+2} & \dots & a_{k+1,n} \\ a_{k+2,k+1} & a_{k+2,k+2}-\lambda & \dots & a_{k+2,n} \\ \dots & & & \dots\\ a_{n,k+1} & a_{n,k+2} & \dots & a_{nn}-\lambda \end{array} \right| \ . $$ Это равенство является тождеством по $ \lambda_{} $: оно справедливо для всех значений параметра. В каждой части сомножители оказываются полиномами по этому параметру, следовательно на основании свойства делимости полиномов, обе части тождества можно разделить на $ \det (A_{}-\lambda E ) $. Получившееся тождество остается верным при всех значениях $ \lambda_{} $, а в частности и при значении $ \lambda_{}=0 $, при котором оно обращается в равенство из утверждения теоремы. ♦

При $ k=n_{} $ тождество Сильвестра дает возможность вычислить определитель матрицы взаимной матрице $ A_{} $:

$$ \det \left(\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ A_{n1} & A_{n2} & \dots & A_{nn} \end{array} \right)^{\top} = (\det A)^{n-1} \ . $$

При $ k_{}=2 $ получаем

$$ A\left( \begin{array}{ccccccccc} 1 & \dots & j-1 & j+1 & \dots & k-1 & k+1 & \dots & n \\ 1 & \dots & j-1 & j+1 & \dots & k-1 & k+1 & \dots & n \end{array} \right) \det A = A_{jj}A_{kk}-A_{jk}A_{kj} \ , $$ т.е. для вычисления определителя $ n_{} $-го порядка достаточно знать величины четырех миноров $ (n-1)_{} $-го порядка и одного минора $ (n-2)_{} $-го порядка — в случае, если этот последний отличен от нуля. В случае симметричной матрицы $ A_{} $ число миноров $ (n-1)_{} $-го порядка уменьшается до трех: $$ A\left( \begin{array}{ccccccccc} 1 & \dots & j-1 & j+1 & \dots & k-1 & k+1 & \dots & n \\ 1 & \dots & j-1 & j+1 & \dots & k-1 & k+1 & \dots & n \end{array} \right) \det A = A_{jj}A_{kk}-A_{jk}^2 \ . $$

Пример. Для определителя четвертого порядка один из вариантов тождества представлен ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема 2. В матрице $ A $ рассмотрим главный минор порядка $ k $:

$$ A_k=A\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & \dots & k \\ 1 & 2 & \dots & k \end{array} \right)= \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2k} \\ \dots & & & \dots \\ a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{kk} \end{array} \right| \ , $$ а также все его окаймляющие миноры $$ B_{j\ell}=A\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & \dots & k & j \\ 1 & 2 & \dots & k & \ell \end{array} \right)= \left|\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1k} & a_{1 \ell} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2k} & a_{2 \ell} \\ \dots & & & \dots & \dots \\ a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{kk} & a_{k \ell} \\ a_{j1} & a_{j2} & \dots & a_{jk} & a_{j \ell} \end{array} \right| \quad npu \quad \{j, \ell\} \subset \{k+1,\dots n \} \ . $$ Составим из $ B_{j\ell} $ матрицу. Имеет место равенство (тождество) Сильвестра: $$ \det \left[ B_{j\ell} \right]_{j, \ell=k+1}^n = A_k^{n-k-1} \det A \ . $$

Доказательство теоремы 1 (с незначительной модификацией) взято из

[1]. Нетто Е. Начала теорiи определителей. Mathesis. Одесса. 1912, cc.62-63