Выделим из полной системы уравнений $$ \left\{ \begin{array}{lllll} a_{11}x_1 &+a_{12}x_2&+ \ldots&+a_{1n}x_n &=b_1,\\ a_{21}x_1 &+a_{22}x_2&+ \ldots&+a_{2n}x_n &=b_2,\\ \dots & & & \dots & \\ a_{m1}x_1 &+a_{m2}x_2&+ \ldots&+a_{mn}x_n &=b_m. \end{array} \right. $$ ее подсистему, состоящую из первых $ k_{} $ уравнений $$ \left\{ \begin{array}{lllll} a_{11}x_1 &+a_{12}x_2&+ \ldots&+a_{1n}x_n &=b_1,\\ a_{21}x_1 &+a_{22}x_2&+ \ldots&+a_{2n}x_n &=b_2,\\ \dots & & & \dots & \\ a_{k1}x_1 &+a_{k2}x_2&+ \ldots&+a_{kn}x_n &=b_k. \end{array} \right. $$ Применим к этой подсистеме прямой ход метода Гаусса. Напомним, что он заключается в использовании элементарных преобразований, нацеленных на последовательное исключение неизвестных $ x_1,\dots,x_{k} $. Предположим, что в ходе этих элементарных преобразований удалось привести подсистему к трапециевидной форме $$ \left\{ \begin{array}{llllllrl} a_{11}x_1 +&a_{12}x_2&+ \ldots& +a_{1k}x_k& +a_{1 ,k +1}x_{k+1}&+ \ldots + & a_{1n}x_n &=b_1,\\ &a_{22}^{[1]}x_2&+ \ldots& +a_{2k}^{[1]} x_k& +a_{2 ,k+1}^{[1]} x_{k+1}&+ \ldots + & a_{2n}^{[1]} x_n &=b_2^{[1]},\\ & & \ddots & & & & & \dots \\ & & & a_{kk}^{[k-1]}x_{k} & + a_{k ,k +1}^{[k-1]}x_{k+1}& + \ldots + & a_{k ,n}^{[k-1]}x_n &=b_{k}^{[k-1]}, \end{array} \right. $$ т.е. по крайней мере, подсистема является совместной. Тогда совершенно очевидно, что и исходная система в ходе тех же элементарных преобразований преобразуется к виду, у которого первые $ k_{} $ уравнений будут совпадать с только что приведенными. Нас интересует последнее уравнение получившейся подсистемы, а именно $$ a_{kk}^{[k-1]}x_{k} + a_{k ,k +1}^{[k-1]}x_{k+1} + \ldots + a_{k ,n}^{[k-1]}x_n =b_{k}^{[k-1]} \ . $$

Задача. Найти явное выражение коэффициентов последнего уравнения в виде функций коэффициентов исходной системы.

Предположим сначала, что коэффициент при $ x_{k} $ отличен от нуля: $$ a_{kk}^{[k-1]} \ne 0 \ , $$ тогда из последнего уравнения можно однозначно выразить $ x_{k} $ в виде функции $ x_{k+1}, \dots, x_n $: $$ x_{k} =- \frac{a_{k ,k +1}^{[k-1]}}{a_{kk}^{[k-1]}}x_{k+1} - \ldots - \frac{a_{k ,n}^{[k-1]}}{a_{kk}^{[k-1]}} x_n +\frac{b_{k}^{[k-1]}}{a_{kk}^{[k-1]}} \ . $$ С другой стороны, переписав подсистему в виде: $$ \left\{ \begin{array}{rrrr} a_{11}x_1+\dots+a_{1k}x_{k}&=&b_1-& (a_{1,k+1}x_{k+1}+ \dots +a_{1n}x_n), \\ \dots & & & \\ a_{k1}x_1+\dots+a_{kk}x_{k} &=&b_k-&(a_{k,k+1}x_{k+1}+\dots +a_{kn}x_n). \end{array} \right. $$ мы можем попытаться выразить неизвестные $ x_1,\dots,x_k $ через оставшиеся неизвестные $ x_{k+1},\dots,x_n $, воспользовавшись формулами Крамера. Если определитель матрицы в левой части отличен от нуля: $$ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1k} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kk} \end{array} \right|\ne 0 \ , $$ то система однозначно разрешима относительно $ x_1,\dots,x_k $. Нас интересует выражение для $ x_k $: $$ x_k =\frac{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} &\left[ b_1-(a_{1,k+1}x_{k+1}+\dots +a_{1n}x_n) \right] \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & \left[ b_k- (a_{k,k+1}x_{k+1}+\dots +a_{kn}x_n) \right] \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1k} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kk} \end{array} \right| } $$ Или, разложив последний столбец определителя в числителе в сумму столбцов, воспользуемся свойством 5 определителя (см. ☞ ЗДЕСЬ ): $$ x_k=- \frac{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1,k+1} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{k,k+1} \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1k} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kk} \end{array} \right| }x_{k+1} - \dots - \frac{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1n} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kn} \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1k} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kk} \end{array} \right| } x_n + $$ $$ + \frac{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & b_1 \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & b_k \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1k} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kk} \end{array} \right| } \ . $$ Итак, получено еще одно представление для $ x_{k} $ в виде функции $ x_{1},\dots,x_{k-1} $. Из единственности этого представления следует явное выражение коэффициентов уравнения из метода Гаусса: $$ \frac{a_{k ,k +1}^{[k-1]}}{a_{kk}^{[k-1]}}= \frac{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1,k+1} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{k,k+1} \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1k} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kk} \end{array} \right| },\dots, \frac{a_{k ,n}^{[k-1]}}{a_{kk}^{[k-1]}}= \frac{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1n} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kn} \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1k} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kk} \end{array} \right| },\ $$ $$ \frac{b_{k}^{[k-1]}}{a_{kk}^{[k-1]}} = \frac{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & b_1 \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & b_k \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1k} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kk} \end{array} \right| } \ . $$ Из последнего утверждения следует справедливость следующих равенств $$ a_{kk}^{[k-1]}=L \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1k} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kk} \end{array} \right|,\ a_{k ,k +1}^{[k-1]}=L \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1,k+1} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{k,k+1} \end{array} \right|,\ \dots, $$ $$ a_{k ,n}^{[k-1]}= L\left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & a_{1n} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & a_{kn} \end{array} \right|,\ b_{k}^{[k-1]}=L \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} & b_1 \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & \dots &a_{k,k-1} & b_k \end{array} \right| \ . $$ при некотором множителе $ L_{} $. Утверждается, что $$ L=1 \Bigg/ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & \dots &a_{1,k-1} \\ \dots &&\dots \\ a_{k-1,1} & \dots &a_{k-1,k-1} \end{array} \right| \, . $$

Пример. Для системы л.у.

$$ \left\{ \begin{array}{rrrrr} 2\,x_1&+3\,x_2&+4\, x_3&-7\, x_4 =& 1, \\ 3\,x_1&+2\,x_2&-3\,x_3&+x_4 =& 2, \\ -x_1&&+4\,x_3 &- x_4 =& -1, \\ 7\,x_1&-x_2&+2\, x_3&+3\,x_4 =& 3. \end{array} \right. $$ получить третье уравнение из прямого хода метода Гаусса.

Решение. Имеем: $$ \frac{\left| \begin{array}{rrr} 2&3&4 \\ 3& 2&-3 \\ -1&0& 4 \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{rr} 2&3 \\ 3& 2& \end{array} \right|}x_3+ \frac{\left| \begin{array}{rrr} 2&3&-7 \\ 3& 2&1 \\ -1&0& -1 \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{rr} 2&3 \\ 3& 2& \end{array} \right|} x_4 = \frac{\left| \begin{array}{rrr} 2&3&1 \\ 3& 2&2 \\ -1&0& -1 \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{rr} 2&3 \\ 3& 2& \end{array} \right|} \quad \iff \quad \frac{3}{5}\, x_3 +\frac{12}{5}\, x_4 =-\frac{1}{5} \, . $$

Теорема. Для того чтобы в прямом ходе метода Гаусса можно было последовательно (и без пропусков) исключить переменные $ x_1,x_2,\dots,x_k $ (т.е. $ j_{} $-е уравнение имело коэффициент при $ x_j $ отличным от нуля) необходимо и достаточно чтобы все главные миноры матрицы $ A_{} $ порядков от $ 1_{} $ до $ k $ были бы отличны от нуля:

$$ a_{11} \ne 0, \left| \begin{array}{rr} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{array} \right|\ne 0, \dots , \left| \begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2k} \\ \dots &&&\dots \\ a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{kk} \end{array} \right|\ne 0 \, . $$

Продолжим исследование метода Гаусса с точки зрения на систему линейных уравнений как на матричное уравнение $$ AX= {\mathcal B} \ ; $$ снова ограничиваясь лишь случаем квадратной матрицы $ A_{} $. Напомним, что метод Гаусса состоит из двух стадий. Первая из них — прямой ход — фактически не задействовала сами неизвестные $ x_{1},\dots,x_n $: действия производились только над коэффициентами — строками матрицы $ A_{} $ и элементами столбца правых частей $ {\mathcal B}_{} $.

Пример. Решить систему л.у.

$$ \left\{ \begin{array}{rrrrr} x_1&+2\,x_2&-11\, x_3&+2\, x_4 =&- 14, \\ 3\,x_1 &+3\,x_2&+4\,x_3&-5\,x_4 =& 9, \\ 5\,x_1&-7\,x_2 & +8\,x_3&+2\, x_4 =& 18, \\ 7\,x_1&+8\,x_2&+3\, x_3&+4\,x_4 =& -2. \end{array} \right. $$

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы $$ \left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-11&2 &- 14 \\ 3&3&4&-5 & 9 \\ 5&-7&8&2& 18 \\ 7&8&3&4 & -2 \end{array} \right) $$ и будем выполнять элементарные преобразования над ее строками: $$ \rightarrow \quad \left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-11&2 &- 14 \\ 0&-3&37&-11 & 51 \\ 0&-17&63&-8& 88 \\ 0&-6&80&-10 & 96 \end{array} \right) \quad \rightarrow \quad \left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-11&2 &- 14 \\ 0&-3&37&-11 & 51 \\ 0&0&-\frac{440}{3}&\frac{163}{3}& -201 \\ 0&0&6&12 & -6 \end{array} \right) \quad \rightarrow $$ $$ \quad \rightarrow \quad \left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-11&2 &- 14 \\ 0&-3&37&-11 & 51 \\ 0&0&-\frac{440}{3}&\frac{163}{3}& -201 \\ 0&0& 0 & \frac{3129}{220} & -\frac{3129}{220} \end{array} \right) $$ Фактически мы просто переписали прямой ход метода Гаусса в терминах матрицы коэффициентов системы. Последняя получившаяся матрица определит треугольный вид преобразованной системы. Очевидно, на этом этапе алгоритма, нет необходимости иметь дело именно с такими объектами как «линейное уравнение» и «неизвестная величина»: пока что все действия производятся с объектом «строка матрицы». Попробуем записать эти действия в терминах операции умножения матриц. Для этой цели нам потребуются матрицы элементарных преобразований. Итак, на первом шаге метода Гаусса расширенная матрица системы $$ \left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-11&2 &- 14 \\ 3&3&4&-5 & 9 \\ 5&-7&8&2& 18 \\ 7&8&3&4 & -2 \end{array} \right) $$ преобразуется следующим образом: первая строка, домноженная на число $ 3_{} $ вычитается из второй строчки. Результатом этого действия будет матрица, которая совпадает с результатом умножения исходной матрицы слева на матрицу элементарных преобразований, а именно $$ \underbrace{\left( \begin{array}{rccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{array} \right)}_{=T_1} \left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-11&2 &- 14 \\ 3&3&4&-5 & 9 \\ 5&-7&8&2& 18 \\ 7&8&3&4 & -2 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-11&2 &- 14 \\ 0&-3&37&-11 & 51 \\ 5&-7&8&2& 18 \\ 7&8&3&4 & -2 \end{array} \right) \ . $$ Следующий шаг заключается заключается в вычитании из третьей строки полученной матрицы первой, домноженной на $ 5_{} $. Это эквивалентно следующему умножению: $$ \underbrace{\left( \begin{array}{rccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -5 & 0& 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{array} \right)}_{=T_2} \left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-11&2 &- 14 \\ 0&-3&37&-11 & 51 \\ 5&-7&8&2& 18 \\ 7&8&3&4 & -2 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-11&2 &- 14 \\ 0&-3&37&-11 & 51 \\ 0&-17&63&-8& 88 \\ 7&8&3&4 & -2 \end{array} \right) \ . $$ Результат третьего шага достигается домножением полученной матрицы на матрицу элементарных преобразований $$ T_3= \left( \begin{array}{rccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 1 & 0 \\ -7 & 0 & 0& 1 \end{array} \right) \ . $$ Понятно, что общий результат первых трех шагов получится если исходную матрицу системы умножить на произведение всех использованных матриц преобразований, т.е. на матрицу $$T_{321}=T_3T_2T_1= \left( \begin{array}{rccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ -5 & 0& 1 & 0 \\ -7 & 0 & 0& 1 \end{array} \right) \ . $$

Следующие преобразования из метода Гаусса описываются на матричном языке по аналогии: $$ T_4= \left( \begin{array}{rccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{17}{3}& 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{array} \right) \ , \ T_5 \left( \begin{array}{rccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0& 1 \end{array} \right) \quad \Rightarrow \quad T_{54}= \left( \begin{array}{rccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{17}{3}& 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0& 1 \end{array} \right) \ . $$ И, наконец, последнее домножение производится на матрицу $$ T_6= \left( \begin{array}{rccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{9}{220}& 1 \end{array} \right) \ . $$ Окончательный результат является итогом произведения всех участвующих матриц $ T_{j} $: $$ T=T_6T_{54}T_{321}= \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ 12 & -\frac{17}{3}& 1 & 0 \\ -\frac{28}{55} & -\frac{491}{220} & \frac{9}{220}& 1 \end{array} \right) $$ на расширенную матрицу системы. ♦

Вместо того, чтобы домножать расширенную матрицу $ A \mid \mathcal B $ на матрицу $ T_{} $ мы могли бы иметь дело с исходной системой линейных уравнений: $$ AX= {\mathcal B} \ . $$ Домножение ее (слева) на построенную матрицу $ T_{} $ приводит систему к новой $$ (TA) X = T{\mathcal B} ; $$ в которой матрица $$ U= TA $$ имеет верхнетреугольный вид. Теперь рассмотрим повнимательней структуру матрицы $ T_{} $. Во-первых, она оказывается нижнетреугольной. Во-вторых, на ее главной диагонали стоят единицы. Как следствие, $ \det T=1 $, т.е. матрица $ T_{} $ является неособенной. Развиваем успех: из последнего матричного равенства можно выразить матрицу $ A_{} $ в виде произведения: $$ A=T^{-1}U \ . $$ Легко проверить, что обратная к нижнетреугольной матрице $ T_{} $ снова будет нижнетреугольной, и на главной диагонали снова будет иметь единицы. Обозначим $ L=T^{-1} $.

Представление произвольной квадратной матрицы $ A_{} $ в виде произведения нижнетреугольной матрицы $ L_{} $ и верхнетреугольной матрицы $ U_{} $ называется LU-разложением матрицы. Это разложение не всегда существует.

Пример. Попытка построить LU-разложение для матрицы

$$ A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) $$ по методу неопределенных матриц: $$ L= \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \ell_{21} & 0 \end{array} \right) , \quad U= \left(\begin{array}{cc} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{array} \right) $$ заканчивается фиаско…

Теорема. Для того, чтобы матрица $ A_{} $ могла быть представлена в виде произведения

$$ A=L \cdot U $$ невырожденной нижнетреугольной матрицы $ L_{} $ с единицами на главной диагонали¹⁾ на верхнетреугольную матрицу $ U_{} $ необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы $ A_{} $ были отличны от нуля. При выполнении этого условия, указанное LU-разложение будет единственно.

Можно доказать, что существование LU-разложения для матрицы $ A_{} $ гарантирует, что и матрица $ U^{\top} $ допускает LU-разложение: главные миноры матриц $ A_{} $ и $ U_{} $ совпадают. Из разложения $$ U^{\top} = L_1\cdot U_1 $$ при матрице $ L_1 $ нижнетреугольной и $ U_1 $ — верхнетреугольной следует, что $$ U_1=L_1^{-1} U^{\top} \ . $$ Поскольку обе матрицы в правой части являются нижнетреугольными, то и их произведение также будет нижнетреугольной матрицей. Таким образом, матрица $ U_1 $ должна быть одновременно верхне- и нижнетреугольной. Следовательно, она — диагональная $ U_1 = D $ и $$ U^{\top} = L_1\cdot D \quad \Rightarrow \quad U=D \cdot R $$ при $ R=L_1^{\top} $ — верхнетреугольной с единицами на главной диагонали. Мы приходим к следующему результату (в котором используем упрощение обозначений — по-честному, нужно было бы у матриц $ L_{} $ и $ U_{} $ поставить новые индексы…):

Теорема. Для того, чтобы неособенная матрица $ A_{} $ могла быть представлена в виде произведения

$$ A= L \cdot D \cdot U $$ диагональной матрицы $ D_{} $, а также нижней $ L_{} $ и верхней $ U_{} $ треугольных матриц с единицами на их главных диагоналях необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры $ \det A_1,\dots,\det A_n=\det A $ были ненулевыми. В этом случае представление матрицы в виде такого произведения единственно, при этом матрица $ D_{} $ имеет следующую структуру: $$ D=\left( \begin{array}{ccccc} \det A_1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \det A_2/ \det A_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \det A_3/ \det A_2 & \dots & 0 \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \det A_n/ \det A_{n-1} \end{array} \right) \ . $$

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Представление произвольной квадратной матрицы $ A_{} $ в виде произведения нижнетреугольной матрицы $ L_{} $, диагональной матрицы $ D_{} $ и верхнетреугольной матрицы $ U_{} $ называется LDU-разложением матрицы $ A_{} $.

Пример. Для матрицы системы из приведенного выше примера имеем:

$$ \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ 12 & -\frac{17}{3}& 1 & 0 \\ & & & \\ -\frac{28}{55} & -\frac{491}{220} & \frac{9}{220}& 1 \end{array} \right) \underbrace{\left( \begin{array}{rrrr} 1&2&-11&2 \\ 3&3&4&-5 \\ 5&-7&8&2 \\ 7&8&3&4 \end{array} \right)}_{A}= \left( \begin{array}{rrrr} 1&2&-11&2 \\ 0&-3&37&-11 \\ 0&0&-\frac{440}{3}&\frac{163}{3} \\ & & & \\ 0&0& 0 & \frac{3129}{220} \end{array} \right) \ ; $$ транспонировав матрицу в правой части равенства, приведем ее к нижнетреугольному ( = диагональному) виду: $$ \left( \begin{array}{rrrr} 1&0&0&0 \\ -2&1&0&0 \\ -\frac{41}{3}&\frac{37}{3}&1& 0 \\ & & & \\ \frac{119}{440} &\frac{397}{440}& \frac{163}{440} & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1&0&0&0 \\ 2&-3&0&0 \\ -11&37&-\frac{440}{3}& 0 \\ & & & \\ 2&-11& \frac{163}{3} & \frac{3129}{220} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rrrr} 1&0&0&0 \\ 0&-3&0&0 \\ 0&0&-\frac{440}{3}& 0 \\ & & & \\ 0&0& 0 & \frac{3129}{220} \end{array} \right) \ . $$ Обращением треугольных матриц получаем LDU-представление матрицы $ A_{} $: $$ A= \left( \begin{array}{rrrr} 1&0&0&0 \\ 3&1&0&0 \\ 5&\frac{17}{3}&1& 0 \\ & & & \\ 7 &2& -\frac{9}{220} & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1&0&0&0 \\ 0&-3&0&0 \\ 0&0&-\frac{440}{3}& 0 \\ & & & \\ 0&0& 0 & \frac{3129}{220} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1&2&-11&2 \\ 0&1&-\frac{37}{3}&\frac{11}{3} \\ & & & \\ 0&0& 1 & -\frac{163}{440} \\ & & & \\ 0&0& 0 & 1 \end{array} \right) \ . $$ Для контроля приведем величины главных миноров матрицы $ A_{} $: $$ A_1=1,\ A_2= \left| \begin{array}{rr} 1&2 \\ 3&3 \end{array} \right|=-3,\ A_3= \left| \begin{array}{rrrr} 1&2&-11 \\ 3&3&4 \\ 5&-7&8 \end{array} \right|=440,\ A_4=\det A=6258 \ . $$ ♦

Для того, чтобы неособенная симметричная матрица $ A_{} $ могла быть представлена в виде произведения

$$ A= U^{\top} \cdot D \cdot U $$ где $ D_{} $ — диагональная матрица, а $ U_{} $ — верхнетреугольная матриц с единицами на главной диагонали, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры $ \det A_1,\dots,\det A_n=\det A $ были ненулевыми. В этом случае представление матрицы в виде такого произведения единственно, при этом матрица $ D_{} $ имеет структуру из предыдущей теоремы.

Доказательство необходимости аналогично общему случаю. Обратно, при выполнении условия теоремы, существует единственное LDU-разложение матрицы $ A_{} $. При транспонировании оно должно сохраниться: $$ LDU=A=A^{\top}=U^{\top} D L^{\top}\, . $$ В силу единственности разложения, имеем: $ L=U^{\top} $. ♦

[1]. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. М.Наука. 1988.

[2]. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.Наука.1983

[3]. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.Мир.1980