1. Построить полином наименьшей степени, дающий при делении на $ x^2+x+1 $ в остатке $ -x-1 $, при делении на $ x^2+2\,x+2 $ — в остатке $ -5\,x-1 $, а при делении на $ x^2-x+1 $ — в остатке $ x+1 $.

2. [1] Чему равен остаток от деления полинома $ x^{81}+x^{49}+x^{25}+x^9+x $ на $ x^3-x $?

3. Пусть $ \{x_1,\dots, x_n\} $ все различны и отличны от нуля, и $$ W(x)=\prod_{j=1}^n (x-x_j) \, . $$ Доказать, что $$ \sum_{j=1}^n \frac{1}{x_j W^{\prime}(x_j)}= \frac{(-1)^{n-1}}{\displaystyle \prod_{j=1}^n x_j} \, . $$

4. Доказать, что для функции $$ W(x)=\prod_{j=1}^n (x-x_j) \quad \mbox{при} \ \{x_j=x_1+(j-1)\Delta\}_{j=2}^n $$ (равноотстоящие узлы) будет выполнено: $ W^{\prime}(x_j)$ совпадает с $ W^{\prime}(x_{n-j}) $, с точностью до знака.

5. Построить вещественный полином третьей степени по следующей таблице значений $$ \begin{array}{r|rrc} x & -1 & 1 & \mathbf i\\ \hline y & -4 & -2 & 3 - \mathbf i \end{array} $$

6. При каких значениях $ y_{\ast} $ таблица $$ \begin{array}{r|rrcc} x & -1 & 1 & \mathbf i & 2\\ \hline y & -2 & -2 & - 2 \mathbf i & y_{\ast} \end{array} $$ задает вещественный полином третьей степени?

7. Пусть $ x_1 < \dots < x_n $ и $ \{B_j \}_{j=0}^n \subset \mathbb R $. С помощью правила знаков Декарта доказать, что число корней полинома $$ f(x)=B_0+(x-x_1)B_1+(x-x_1)(x-x_2)B_2 + \dots + (x-x_1)\times \dots \times (x-x_{n})B_n \ ; $$ больших $x_1 $ (с учетом кратностей этих корней) равно или меньше на четное число числа знакоперемен в ряду $ B_0,B_1,\dots, B_n $: $$ \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>x_n \} = {\mathcal V}(B_0,B_1,\dots, B_n)-2 k , \quad k\in \{0,1,2, \dots \} \ . $$ Аналогично, $$ \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x<x_1 \} = {\mathcal P}(B_0,B_1,\dots, B_n)-2 k^{\prime} , \quad k^{\prime}\in \{0,1,2, \dots \} \ , $$ где $ {\mathcal P} $ означает число знакопостоянств.

[1]. Хонсбергер Р. Математические изюминки. М.Наука. 1992, с.137

[2]. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Т 2, отдел 5, глава 1. М.Наука.1978