Если $\gamma$ — дуга гладкой кривой и $\vec{r}=\vec{r}(t)$, $t\in[a,b]$ — ее параметризация, то длина этой дуги $s(\gamma)$ определяется по формуле $$ s(\gamma)=\int\limits_a^b|\vec{r'}(t)|dt. $$

Между точками кривой и значениями длины дуги $s$, отсчитываемыми от начальной точки в каком-либо направлении,существует взаимно однозначное и непрерывное соответствие, поэтому длину дуги $s$ можно принять за новый параметр, который называется натуральным параметром.

Параметризация $\vec{r}=\vec{r}(s)$, $s\in[\alpha,\beta]$ называется естественной параметризацией.

№№ 473, 471, 469.

Найти длину дуги кривой $$ x=\mbox{ch }t,\,\, y=\mbox{sh }{t},\,\, z=t, $$ заключенной между точками, соответствующими значениям параметра $0$ и $t$.

\begin{align*} \vec{r}(t)&=\left\{ \mbox{ch }t,\, \mbox{sh }{t},\, t\right\} \,\, \Rightarrow \\ \vec{r'}(t)&=\left\{ \mbox{sh }{t},\, \mbox{ch }{t},\, 0\right\}. \end{align*}

$$ s(\gamma)=\int\limits_0^t|\vec{r'}(t)|dt=\int\limits_0^t\sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2}(t)dt= $$ $$ =\int\limits_0^t\sqrt{\mbox{sh}^2{t}+\mbox{ch}^2{t}+1}\,dt = \int\limits_0^t\sqrt{2\mbox{ch}^2{t}}\,dt = $$ $$ =\int\limits_0^t\sqrt{2}\,\mbox{ch }{t}\,dt = \sqrt{2}\,\mbox{sh }{t}\,dt. $$