Основное
Вспомогательная страница к разделу ☞ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Вычислить сумму всех корней $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $.
Решение. Пусть $ n>1 $. Если $$ \varepsilon_k=\cos \frac{2\pi k}{n} + \mathbf i \sin \frac{2\pi k}{n} \quad \mbox{при} \quad k\in\{0,1,\dots,n-1\} \ , $$ то, по формуле Муавра, $ \varepsilon_k = \varepsilon_1^k $. $$ \varepsilon_0+\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_{n-1}=1+\varepsilon_1+ \varepsilon_1^2+\dots+\varepsilon_1^{n-1}=\frac{\varepsilon_1^{n}-1}{\varepsilon_1-1}=0 $$ поскольку $ \varepsilon_1^n =1 $.
Ответ. $ 0_{} $ при $ n>1 $.
Если $ \varepsilon_{} $ — какой-то корень $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $, то
$$ 1+ \varepsilon+ \varepsilon^2+\dots + \varepsilon^{n-1} = \left\{ \begin{array}{ccc} n & \mbox{при} & \varepsilon=1 , \\ 0 & \mbox{при} & \varepsilon\ne 1 . \end{array} \right. $$
Если $ \{\varepsilon_j\}_{j=0}^{n-1} $ обозначают корни $ n_{} $-й степени из единицы, то
$$ \varepsilon_0^k+ \varepsilon_1^k+ \varepsilon_2^{k}+\dots + \varepsilon_{n-1}^{k} = \left\{ \begin{array}{ccc} n & \mbox{при} & k\equiv 0 \pmod{n} , \\ 0 & \mbox{при} & k\not\equiv 0 \pmod{n} . \end{array} \right. $$