Инструменты сайта


Матрица Франка

$$ F_n=\left[ \mathfrak f_{jk} \right]_{j,k=1}^n , \quad \mbox{где} \ \mathfrak f_{jk}= \left\{ \begin{array}{lc} (n+1)- \max \{j,k\} & \mbox{если} \ k\ge j-1, \\ 0 & \mbox{если} \ k < j-1. \end{array} \right. $$ $$ F_n=\left( \begin{array}{cccccc} n & n-1 & n-2 & \dots & 2 & 1 \\ n-1 & n-1 & n-2 & \dots & 2 & 1 \\ 0 & n-2 & n-2 & \dots & 2 & 1 \\ 0 & 0 & n-3 & \dots & 2 & 1\\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 1 \end{array} \right) $$

$$\det F_n=1 $$ Хар.полином $ p_n(\lambda):=\det (F_n- \lambda E) $ удовлетворяет тождеству $$ \lambda^n p_n(1/\lambda) \equiv (-1)^n p_n(\lambda) \, . $$ Таким образом, при $ n $ — четном, полином $ p_n $ является возвратным.

$$ \det(F_5-\lambda E)=(-1)^5 \left({\lambda}^{5}-15\,{\lambda}^{4}+55\,{\lambda}^{3}-55\,{\lambda}^{2}+15 \,\lambda-1 \right) $$

Все собственные числа различны, вещественны и положительны. $$ F_3 \Rightarrow \{1, 5/2\pm 1/2 \sqrt{21} \} $$

$$ \mathcal F(z)= 6076071106094438656\,{z}^{12}-520901887907840896000\,{z}^{11}+ 18593726625391975477792\,{z}^{10}- $$ $$ -356787101419711348319136\,{z}^{9}+3967729993594852621376589\,{z}^{8}-25810062501028868106165356\,{z}^{7}+ $$ $$ +96004689476302562724758269\,{z}^{6}-200615313533552363067488800\,{z}^{5}+229441717729062651478006400\,{z}^{4} $$ $$ -138306568080985930365565824\, {z}^{3}+39220420183372568653608960\,{z}^{2}-3641529744931817403187200\, z $$ $$ +3608011597981157462016 $$ имеет корни $$ 0.001001561466531049226347165046060468526868, 0.1673271229620572348037189371616708493961, $$ $$ 0.6466616084944968507501866521032169100725, 2.780758306832269146212666736102577493605, $$ $$ 3.068268181209224651087159809197847140482, 15.92149071182230289336549396287976366178, $$ $$ 16.84944769472775630237869071159453081623, 17.55924159694471978457419879054097616957 $$ $$ \widetilde{\mathcal F}(z)= 1440062220672105625\,{z}^{12}+102949926685559384408\,{z}^{11}+ 12275296011129978160471\,{z}^{10} $$ $$ -145872840079870071863670\,{z}^{9}- 1811773545942188913626538\,{z}^{8}+5642757743190579980194932\,{z}^{7}+ $$ $$ +70958108235563273829411684\,{z}^{6}+87621595650672293582619120\,{z}^{5}-198933994930800342225881664\,{z}^{4}- $$ $$ -477729857627271126317611008\,{z}^{3}-192274709206678170712621056\,{z}^{2}-11337553393913757246160896 \,z- $$ $$ -139898851473700801216512 $$ имеет корни $$ -.4420653702784486137682992291105518508196, -0.05104428241314923587237960377147591590679, $$ $$ -0.01707647495365692104854648435754331146359, \widetilde{z}_1\approx 2.029490694282178847878310677516189512738, $$ $$ 7.429005593932137904199327550336817534827, 15.41729733030707087734228272909670713779 $$ Корню $ \widetilde{z}_1 $ соответствуют решения системы $\Theta=0, \Theta^{\prime}_a=0, , \Theta^{\prime}_b=0 $ $$ a_{1,2}\approx 3.728300984749084549281695379087924154414, b_{1,2}\approx \pm \mathbf i \, 3.389218486651682281195502219334598454012 $$ (точность — до $10^{-15}$). Комплексно-сопряженные.

Источник

Frank W.L. Computing Eigenvalues of Complex Matrices by Determinant Evaluation and by Methods of Danilewski and Wielandt. J. Soc. Indust. Appl. Math. 6(4), 378–392, 1958. frank1958.pdf

algebra2/frank.txt · Последние изменения: 2023/11/02 13:16 — au