Инструменты сайта


Высшая алгебра

Программа разработана А.Ю.Утешевым на основе опыта чтения курса на факультете ПМ-ПУ СПбГУ.

Раздел I. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Глава 1. НАЧАЛА ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

Глава 2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Определение (равенство, алгебраические действия, запись, комплексное сопряжение)

Тригонометрическая форма комплексного числа (действия с к.ч., представленными в тригонометрической форме, формула Муавра, неравенства для модуля, выведение тригонометрических формул ).

Извлечение корня из комплексного числа (cведéние к решению системы нелинейных уравнений, решение квадратных уравнений; тригонометрическая форма, корни из единицы, первообразные корни )

Глава 3. ПОЛИНОМЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

Определения. Форма записи, моном, степень, равенство, приведение подобных, сложение, умножение. Схема Хорнера

Основная теорема высшей алгебры (формулировка). Формулы Виета. Разложение на линейные множители. Кратность корня

Решение уравнений в радикалах (уравнения третьей и четвертой степени; неразрешимость уравнений высших степеней).

Делимость полиномов. Наибольший общий делитель, алгоритм Евклида. Взаимно простые полиномы. Тождество Безу.

Формула Тейлора

Выделение кратных корней. Установление кратности корня. Решение уравнений, имеющих кратные корни

Корни полинома с вещественными коэффициентами (приводимость; границы расположения корней: оценки Маклорена, Лагранжа, Ньютона; геометрия вещественных корней,правило знаков Декарта ).

Приводимость полиномов в $ \mathbb{Q}_{} $ (условия существования рациональных корней, критерий неприводимости Эйзенштейна ).

Численные методы нахождения корней полинома (Руффини-Хорнера, Лагранжа, Ньютона ).

Рациональные дроби. Разложение на простейшие над $ \mathbb{C}_{} $ и $ \mathbb{R}_{} $. Формула Лагранжа

Полиномы нескольких переменных (способы их представления, формула Тейлора, условия экстремума, алгебраические уравнения)

Глава 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Глава 5. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

Глава 6. ТЕОРИЯ ИСКЛЮЧЕНИЯ

Результант. Его линейное представление, связь с алгоритмом Евклида

Дискриминант

Субрезультанты. Линейное представление НОД

Приложения: уничтожение иррациональности в знаменателе, преобразование Чирнгауза2).

Исключение переменных в системе уравнений

Число решений системы уравнений: теорема Безу, исключительные случаи теории исключения

Замечания: об эквивалентных системах, об эквидистанте

Основная теорема высшей алгебры (доказательство).

Глава 7. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Глава 8. ЛОКАЛИЗАЦИЯ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА

Глава 9. НЕКОТОРЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

Раздел II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ

Глава 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И МНОГООБРАЗИЯ

Глава 2. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Определения

Ортогональный базис. Алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта

Расстояние от точки до линейного многообразия

Свойства определителя Грама. Неотрицательность, использование для нахождения расстояния, неравенство Адамара, геометрическая интерпретация

Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Пространство линейных отображений

Ядро и образ линейного отображения

Матрица линейного отображения

Линейный оператор

Инвариантные подпространства оператора. Собственные векторы и собственные числа. Характеристический полином. Диагонализуемость матрицы оператора над $ \mathbb{C}_{} $

Структура и свойства характеристического полинома. Теорема Гамильтона-Кэли. Диагонализуемость матрицы лин.оператора над $ \mathbb{R}_{} $

Диагонализуемость симметричной матрицы над $ \mathbb{R}_{} $. Локализация ее собственных чисел и их экстремальное свойство

Жорданова нормальная форма в $ \mathbb{C}_{} $. Аннулирующий полином. Корневое подпространство. Циклическое подпространство

Жорданова нормальная форма в $ \mathbb{R}_{} $

Глава 4. ПРИМЕНЕНИЯ ЖОРДАНОВОЙ НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЫ

Вычисление полинома от матрицы

Линейное разностное уравнение

Задача о разорении игрока. Цепи Маркова

Матричный степенной ряд. Норма матрицы. Аналитические функции матрицы. Устойчивость по Ляпунову.

Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1) , 2)
Факультативно.
algebra2/course/prog_rus.txt · Последние изменения: 2021/11/03 00:26 — au