Материалы к курсу высшей алгебры

Цели и задачи курса

Курс состоит из двух разделов:

1. Решение уравнений и систем уравнений.

2. Линейные пространства и отображения .

Традиционная методология преподавания математических дисциплин: разделы в учебном курсе ставятся примерно в том же порядке, в котором они возникали в историческом развитии этой науки. В XX веке эту методологию попытались изменить: считалось правильным сначала сформулировать максимально строгие, абстрактные и общие определения, из которых потом выводить конкретные частные результаты.

Не считая необходимым дискутировать о правильности первого или второго подхода (заметив только, что имеется принципиальная разница в восприятии математических понятий у людей с абстрактным и конкретным типами мышления; см. ☞ "О математике прикладной и чистой" и ☞ Крылов А.Н. ), я уведомляю, что являюсь убежденным сторонником первого.

Итак, прежде всего,

алгебра - это наука о решении уравнений и систем уравнений.

В первом разделе мы ограничимся именно этим определением, характерным для университетских курсов высшей алгебры, сформировавшихся к началу XX века. Основная задача раздела: выяснить какие именно уравнения изучаются в алгебре и какой смысл придается в этой науке слову «решение»¹⁾.

И

Происхождение слова «алгебра» ☞ ЗДЕСЬ. Почему, собственно, именно эта задача стала основной ☞ ЗДЕСЬ

К началу XX века в алгебре начало формироваться и другое направление исследований: классификация (установление свойств) многомерных отображений различной природы. Именно,

выявление свойств линейных отображений

составляет основную задачу второго раздела.

Общим у двух разделов алгебры является математический аппарат: теория матриц (ими линейные отображения описываются) и теория алгебраических уравнений от одной переменной (с их помощью эти отображения анализируются).

Кроме того, во втором разделе на первый план выдвигаются и прикладные аспекты алгебры: разработанные в ней алгоритмы используются в теории дифференциальных уравнений (в том числе, в механике) и в теории вероятностей.

Литература

С моей точки зрения, идеальным учебником является такой, по которому желающий может самостоятельно обучиться предмету. Исходя из этого критерия, учебники по алгебре я ранжирую так:

1. Немецкие, французские и ангийские учебники конца XIX – начала XX вв.

2. Русские учебники 30-х – 50-х годов XX века

Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М. Учпедгиз. 1958
Сушкевич А.К. Основы высшей алгебры. М.-Л. ОНТИ. 1937

Однако, лучшими учебниками по алгебре я считаю книги нашего соотечественника – Якова Викторовича Успенского – до 1923 года профессора С.-Петербургского (Петроградского) университета. К сожалению, его книги

Uspensky J.V. Theory of Equations. New York. McGraw-Hill. 1948
Uspensky J.V., Heaslet M.A. Elementary Number Theory. New York. McGraw-Hill. 1941

написаны по-английски…

3. Кроме указанных учебников при подготовке курса использовались следующие

Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.Наука. 1966
Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. М.Мир. 1971
Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.Мир.1980
Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.Мир.1989
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.Наука.1984
Уилкинсон Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.Наука.1970
Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. М.Наука.1969

§

Более подробная библиография с краткими характеристиками и сопутствующей информацией ☞ ЗДЕСЬ.

Методология

Принципы преподавания математической дисциплины для прикладных математиков, которым я стараюсь следовать:

Просвещение внедрять с умеренностью, по возможности избегая кровопролития.

Цель обучения заключается не в том, чтобы завалить студента монбланом фактов, а в том, чтобы пробудить в нем интерес к самому процессу познания, – как отражением внутренней красоты науки, так и показом ее практических приложений.

Exempla docent non minus quam præcepta²⁾

Объяснения вести «от простого — к сложному» и «от частного — к общему». Наглядность идеи важнее строгости доказательства. Постановку задач сначала пояснять на примерах. Вообще, чем больше примеров — тем лучше.

Лучший пример — из реальной жизни. «Прикладники» имеют право на вопросы: «Зачем данная конкретная задача нужна?» и «Почему она ставится именно так?»
Pluralitas non est ponenda sine necessitate³⁾

Принцип бритвы Оккама: не вводить излишних сущностей (в том числе и обобщений), если они нигде в дальнейшем не применяются.

Впрочем, ради эстетического изящества отдельного результата, можно иногда и отступать от предыдущего принципа
Выделять магистральную, сквозную задачу для всего курса — например, для раздела I таковой является задача решения алгебраического уравнения (и систем таких уравнений). По ходу изложения курса все промежуточные задачи, ставящиеся в отдельных главах, увязывать с этой главной.
Не маскировать «психологических» и «идеологических» трудностей в историческом становлении науки: если к комплексным числам математики привыкали 300 лет, то зачем скрывать этот факт от студентов, ограничиваясь лишь формальным определением?
Самодостаточность. Что можно доказать — доказывать, что сложно (или не имеет смысла) доказывать — пояснить на примере. Это относится и к используемым результатам из смежных разделов — математического анализа, дифференциальных уравнений, теории вероятностей.
Хотите получить классическое образование? – (По)читайте классиков!⁴⁾

В современном научном мире распространено опасное заблуждение, что мы умнее наших предшественников. Только этим я могу объяснить то неуважение, которые проявляют авторы многих современных учебников (и научных публикаций) к наследию, оставленному нам предыдущими поколениями – тем же XIX веком. Предисловие к учебнику

Бертран Ж. Дифференцiальное исчисленiе. «Наука и жизнь» С.Петербург. 1911

заканчивается следующими словами автора (подчеркнуто мною)

Таково краткое содержание двадцати шести глав, составляющих этот первый том; в нем есть важные пробелы и многочисленные недостатки, которые я не скрываю от себя. Сравнивая то, что я смог сделать, с предначертанным себе планом, я знаю лучше всякого другого, как далеко не достиг я желаемой цели. Я хотел бы устранить для молодых геометров при изучении ими трудов вождей науки все препятствия, проистекающие от незнания принципов, на которых эти труды покоятся; но такая программа почти беспредельна, и я должен был ограничиться, по мере своих сил и знаний, облегчением для них первых шагов. Можно, без сомнения, все это сделать гораздо лучше, но нельзя, я в том убежден, преодолеть всех трудностей. Может быть, даже было бы несправедливо сожалеть об этом; ничто не может заменить непосредственного изучения великих учителей, и помогая молодым людям слишком долго держаться от них вдали и тем облегчая их занятия, мы, пожалуй, задержали бы, и на очень, может быть, долгое время, развитие у них духа творчества.

Ни убавить, ни прибавить – жаль, что сформулировано не мною . В свой курс я включил исторические очерки о математиках, стараясь при этом выделять не столько их научные достижения, сколько их мировоззрение – то, что, по моему мнению, влияло на упомянутый Бертраном «дух творчества». В подборе исторических комментариев я руководствовался исключительно личными пристрастиями.