Основное
Содержание
Список вопросов к экзамену. Осенний семестр 2025/2026 учебного года. Поток БД.
1. Алгебраическая форма комплексного числа.Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.
2. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в различных формах.
3. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.
4. Понятие расширенной комплексной плоскости. Сфера Римана. Формулы стереографической проекции.
5. Определение функции комплексного переменного. Однозначные и многозначные функции. Однолистные и многолистные функции.
6. Элементарные функции комплексного переменного: $e^z$, тригонометрические функции, гиперболические функции.
7. Элементарные функции комплексного переменного: логарифм.
8. Элементарные функции комплексного переменного: общая степенная и общая показательная функции, обратные тригонометрические функции.
9. Предел и непрерывность функции. Производная.
10. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции комплексного переменного (с доказательством).
11. Аналитические функции. Связь аналитических функций с гармоническими.
12. Восстановление аналитической функции по ее вещественной или мнимой части.
13. Римановы поверхности.
14. Геометрический смысл аргумента и модуля производной функции комплексного переменного (с доказательством).
15. Конформные отображения. Определения, свойства. Необходимые и достаточные условия конформности.
16. Конформные отображения: линейная функция $w=az+b$.
17. Конформные отображения: инверсия $w= \frac1z$.
18. Конформные отображения: дробно-линейная функция $w= \frac{a\,z+b}{c\,z+d}$.
19. Конформные отображения: общий вид дробно-линейных функций, переводящих верхнюю полуплоскость на единичный круг, и переводящих единичный круг на единичный круг (с выводом формул).
20. Конформные отображения: целая степенная функция $w=z^n$.
21. Конформные отображения: радикал $w=\sqrt[n] {z}$, точки разветвления.
22. Конформные отображения: показательная функция $w=e^z$, логарифмическая функция $w=\mbox{Ln}\,z$.
23. Конформные отображения: функция Жуковского $w= \frac12\left(z + \frac1z\right)$.
24. Определение интеграла от функции комплексного переменного. Основные свойства. Теорема об оценке (с доказательством).
25. Интегральная теорема Коши (с доказательством).
26. Следствия интегральной теоремы Коши (с доказательствами).
27. Интегральная формула Коши (с доказательством).
28. Производные высших порядков от функции комплексного переменного (с доказательством).
29. Функциональные ряды, равномерная сходимость, свойства сумм функциональных рядов (без док-в).
30. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости ряда, радиус сходимости. Теорема Тейлора. Без док-в.
31. Ряд Лорана. Теорема о разложении функции в ряд Лорана (с доказательством).
32. Изолированные особые точки функции, их классификация (через предел). Примеры.
33. Изолированные особые точки функции, их классификация (через разложение в ряд Лорана). Примеры.
34. Вычеты функции в конечных особых точках. Теорема Коши о вычетах (с доказательством).
35. Вычисление вычетов в конечных особых точках (УОТ и СОТ). Примеры. Вычисление вычета в полюсе (одна из формул, любая, с доказательством).
36. Вычисление вычетов в полюсе (три формулы, с доказательством). Примеры.
37. Приложение теории вычетов к вычислению интегралов: определенный интеграл вида $ \int_0^{2\pi} R(\cos{x},\,\sin{x})\,dx$ (вывод формулы, пример).
38. Приложение теории вычетов к вычислению интегралов: несобственный интеграл вида $ \int_{-\infty}^{+\infty} R(x)\,dx$ (вывод формулы, пример).
Список вопросов на тройку (Е). Теоретический минимум (знание формулировок, понимание формулировок и умение дать пример к этим формулировкам или решить мой пример)
1. Определение функции комплексного переменного. Однозначные и многозначные функции. Однолистные и многолистные функции.
2. Элементарные функции комплексного переменного (знать формулу, уметь вычислять): $e^z$, тригонометрические функции, логарифм.
3. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции комплексного переменного.
4. Геометрический смысл аргумента и модуля производной функции комплексного переменного.
5. Конформные отображения. Определения, свойства. Необходимые и достаточные условия конформности.
6. Конформные отображения: линейная функция $w=az+b$. Один пример на отображение какой-либо области с помощью данной функции.
7. Конформные отображения: инверсия $w= \frac1z$. Один пример на отображение какой-либо области с помощью данной функции.
8. Конформные отображения: дробно-линейная функция $w= \frac{a\,z+b}{c\,z+d}$. Один пример на отображение какой-либо области с помощью данной функции.
9. Конформные отображения: целая степенная функция $w=z^n$. Один пример на отображение какой-либо области с помощью данной функции.
10. Конформные отображения: показательная функция $w=e^z$. Один пример на отображение какой-либо области с помощью данной функции.
11. Интегральная теорема Коши.
12. Интегральная формула Коши.
13. Ряд Лорана. Теорема о разложении функции в ряд Лорана.
14. Изолированные особые точки функции, их классификация (любым способом).
15. Вычеты функции в конечных особых точках. Основная теорема о вычетах. Без доказательства, с примером.
16. Вычисление вычетов в конечных особых точках (УОТ и СОТ). Примеры. Вычисление вычета в полюсе (одна из формул, любая, без доказательства).
17. Вычисление вычетов в полюсе (три формулы, без доказательства). Примеры.