http://vmath.ru/vf5/ 2026-10-13T03:43:04+0300 http://vmath.ru/vf5/ http://vmath.ru/vf5/lib/tpl/vf5/images/favicon.ico text/html 2022-06-16T09:28:22+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/polynomialm/bezout_t?rev=1655360902&do=diff ПОЛИНОМ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ---------- Теорема [Безу].Полином общего вида$ n_{} $-й степени от$ \ell_{} $переменных имеет $$ C_{n+\ell}^{\ell}$$ коэффициентов. Доказательство проведем индукцией по числу $\ell$ переменных. Для полинома одной переменной утверждение очевидно. $(\ell-1)$$f$$n$$ x_1,\dots,x_{\ell} $$ x_1 $$$ f(x_1,x_2,\dots,x_{\ell})= $$$$ =a_0(x_2,\dots,x_{\ell})x_1^{n_1} +a_1(x_2,\dots,x_{\ell})x_1^{n_1-1}+\dots+a_{n_1}(x_2,\dots,x_{\ell}) $$$n_1=n$$$\deg a_m(x_2,\dots,x_{\ell… text/html 2021-04-01T10:43:55+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/polynomialm/curvature?rev=1617263035&do=diff Кривизна неявно заданной кривой $ f(x,y)=0 $ вычисляется по формуле $$ \kappa=- \frac{ \left| \begin{array}{cc} H(f) & \nabla f \\ \nabla f^{\top} & 0 \end{array} \right|}{ \|\nabla f \|^3}= - \frac{ \left| \begin{array}{ccc} f''_{x^2} & f''_{xy} & f'_x \\ f''_{xy} & f''_{y^2} & f'_y \\ f'_x & f'_y & 0 \end{array} \right|}{\sqrt{(f'_x)^2+(f'_y)^2}^3} \, . $$ Для неявно заданной поверхности $ f(x,y,z)=0 $ ее кривизна Гаусса вычисляется по формуле $$ K=- \frac{ \left| \begin{array}{cc} H(f) &… text/html 2024-03-13T20:10:51+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/polynomialm/problems?rev=1710349851&do=diff ПОЛИНОМ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ---------- Задачи Сколько ветвей у кривой $$ 4\,(x^2+y^2+2)(x^2+y^2-1)^2-(y+1/2)(\sqrt{3}x-y+1)(\sqrt{3}x+y-1)(9\,(x^2+y^2)-17)=0 \ ? $$ Построить все ветви кривой a) $$ -\frac{1}{4}x^6-\frac{3}{4}x^4y^2-\frac{3}{4}x^2y^4-\frac{1}{4}y^6+4\,x^5+\frac{10521}{80}x^4y+\frac{11801}{200}x^3y^2+ \frac{120211}{1000}x^2y^3+\frac{11001}{200}xy^4-\frac{22603}{2000}y^5 $$ $$ -\frac{12921}{80}x^4-\frac{41954}{25}x^3y -\frac{1216713}{1000}x^2y^2-\frac{286927}{250}xy^3+\frac… text/html 2021-09-29T10:57:02+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/polynomialm/puiseux?rev=1632902222&do=diff Алгебраические уравнения: случай двух переменных ---------- ... ---------- Ряд Пюизё Пусть $ f_{}(x,y) $ --- полином степени $ n_{}>1 $ с вещественными коэффициентами, $ f(0,0)=0 $ и $ \partial f / \partial y \mid_{(0,0)} = 0 $, т.е. корень $ y_{}=0 $ является кратным корнем полинома $ f(0,y) $. Требуется построить все решения уравнения $ f_{}(x,y)=0 $$ y(0)=0 $$ y_{}(x) $$ x_{} $$$ f(x,y)=a_{10}x+a_{0m}y^m+\dots \qquad npu \quad m>1 ; $$$ x^2,\ xy,\ y^m $$$ f(x,y)=y^5-3\, y^4+3\,y^3 - x(1-y)… text/html 2022-02-17T11:37:29+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/polynomialm/vfields?rev=1645087049&do=diff Стационарные векторные поля Произвольный полином $ f(x,y) \in \mathbb R[x,y] $ определяет на плоскости $ \mathbb R^2 $ два векторных поля: в каждой точке плоскости определены векторы $$ (-\partial f/\partial y, \partial f/\partial x) \quad \mbox{ и } \qquad \operatorname{grad} (f) = (\partial f/\partial x, \partial f/\partial y) \, . $$$$ f(x,y)= -x^4-1/2\,y^4+4\,x^2+3\,xy+4\,y $$$ f $$ x $$ y $$ t $$ 1 $$ t=0 $$ (x_0,y_0) $$ (x_0,y_0) $$ f(x,y) $$ \mathbb U \in \mathbb R^3 $$$ F(X)=(f_1(x_1,… text/html 2021-09-08T11:35:57+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/polynomialm/weyl?rev=1631090157&do=diff Weyl Hermann (1885-1955), немецкий математик и физик-теоретик$ k $$ k $$ F(x,y,\dots )$$ x=\alpha, y=\beta, \dots $$$ R_1(\alpha, \beta, \dots ) \ne 0, \ R_2(\alpha, \beta, \dots ) \ne 0, \dots $$$ k $$ F(x,y,\dots )$$ x=\alpha, y=\beta, \dots $$$ R_1(\alpha, \beta, \dots ) \ne 0, \ R_2(\alpha, \beta, \dots ) \ne 0, \dots $$$ \mathfrak R $$ n $$ x_1,\dots,x_n $$ \mathbf P \not\equiv 0 $$ \mathbf Q $$ \mathfrak R [x_1,\dots,x_n ] $$ \mathbf P (\mathfrak y_1,\dots, \mathfrak y_n)\ne 0 $$ \mathfr…