http://vmath.ru/vf5/ 2026-10-13T03:43:05+0300 http://vmath.ru/vf5/ http://vmath.ru/vf5/lib/tpl/vf5/images/favicon.ico text/html 2023-11-29T20:55:40+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/numtheory/cesaro?rev=1701280540&do=diff НАЧАЛА ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ---------- Теорема [Чезаро].Обозначим$ P_N $вероятность того, что два числа случайно выбранные из множества$ \{1,2,\dots, N \} $взаимно просты. Тогда $$ \lim_{N\to \infty} P_N = \frac{6}{\pi^2} \approx 0.607927 \ . $$ Доказательство правдоподобия$ P_{} $$ A_{} $$ B_{} $$ \operatorname{HOD} (A,B) $$ d \in \mathbb N $$ \operatorname{HOD} (A,B)=d $$ A_{} $$ d_{} $$ B_{} $$ d_{} $$ \operatorname{HOD} (A/d,B/d)=1 $$$ \frac{1}{d} \cdot \frac{1}{d} \cdot P = \frac{P}{d^2} … text/html 2020-03-11T14:00:21+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/numtheory/divispascal?rev=1583924421&do=diff Указатель --- Разделы--- Обозначения --- Автор --- О проекте ---------- Исторические задачи по элементарной математике Задача Никомаха $$ (1),(3,5),(7,9,11),(13,15,17,19), \dots $$$ k_{} $$ k_{} $$ k_{} $$ k^3 $ Задачи из разных средневековых сборников Решение $ 10_{} $$ B_{} $$ r_1 $$ 10 r_1 $$ B_{} $$ r_2 $$ 10 r_2 $$ B_{} $$ r_3 $$$ A=\underline{{\mathfrak a}_1{\mathfrak a}_2 \dots {\mathfrak a}_s {\mathfrak a}_{s+1}} = {\mathfrak a}_1\times 10^s+{\mathfrak a}_2 \times 10^{s-1} + \dot… text/html 2021-10-18T20:45:57+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/numtheory/issquare?rev=1634579157&do=diff НАЧАЛА ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ---------- Извлечение корней из целых чисел Задача. Для заданного натурального числа $ B_{} $ установить является ли оно полным квадратом и в этом случае определить $ \sqrt{B} $$ B_0 $$ B_0^2>B $$$ B_j = \begin{array}{c} \left\lfloor \begin{array}{c} B_{j-1}+ \left\lfloor \displaystyle \frac{B}{B_{j-1}} \right\rfloor_{} \\ \hline 2 \end{array} \right\rfloor \\ \end{array} \quad npu \ \ j\in \{1,2,\dots \ \} \ , $$$ \left\lfloor\sqrt{B} \right\rfloor $$ B… text/html 2020-05-05T23:10:58+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/numtheory/lame?rev=1588709458&do=diff АЛГОРИТМ ЕВКЛИДАс числами Фибоначчи (формулой Бине) ---------- Теорема [Ламе]Пусть$ B>A>0 $Количество делений, необходимых для вычисления$ \operatorname{HOD} (A,B) $$ 5_{} $$ A_{} $$ k_{} $$$ \begin{array}{lcl} B&=&Aq_1+r_1 \ , \quad 0<r_1<A\ , \\ A&=&r_1q_2+r_2 \ , \quad 0<r_2<r_1, \\ r_1&=&r_2q_3+r_3 \ , \quad 0<r_3<r_2, \\ \dots && \dots \\ r_{j-2}&=&r_{j-1}q_{j}+r_{j} \ , \quad 0<r_{j}<r_{j-1}, \\ \dots && \dots \\ r_{k-2}&=&r_{k-1}q_{k}+r_{k} \ , \quad 0<r_{k}<r_{k-1}, \\ r_{k-1}&=&r… text/html 2025-12-16T15:02:53+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/numtheory/problems?rev=1765886573&do=diff НАЧАЛА ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ---------- Задачи Верно ли равенство $$ \operatorname{HOD}(A, \operatorname{HOK}(B,C))=\operatorname{HOK}(\operatorname{HOD}(A,B),\operatorname{HOD}(A,C)) \ ? $$ Придумать признак делимости на число $ 91 $. Доказать, что каждый член последовательности $$ 49,\ 4489,\ 444889,\ 44448889, \dots, \underbrace{44\dots 44}_{n}\underbrace{88\dots 89}_{n} $$ является полным квадратом.$ 12 $$ A_{} $$ 2_{} $$ 9_{} $$ A_{} $$ A_{} $$ \{u_j\} $$ \{v_j\} $$$ u_j v_{j-1} - u_… text/html 2024-11-09T12:53:30+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/numtheory/spiral?rev=1731146010&do=diff НАЧАЛА ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ---Андреем Рогалем ---------- Числовые спирали Запишем числа натурального ряда в узлах прямоугольной сетки плоскости по схеме, начало которой показано на рисунке. Начало схемы $ 1_{} $$ \pm\pi/4 $$ 961=31^2 $$ 3721=61^2 $$ 1_{} $$ 10201=101^2 $$ \{n^2+a \mid n\in \mathbb N\} $$ \{n^2-n+a \mid n\in \mathbb N\} $$ \{n^2-n+41 \mid n\in \mathbb N\} $$ \pm\pi/4 $$ 1_{} $$ 101\times 101 $$ 201\times 201 $$ \mathbb Z_{} $$ a\,x^2+b\,x+c $$ a,b,c $$ \{a\,n^2+b\,n+c \mid n\in … text/html 2021-09-06T17:37:48+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/numtheory/vspom1?rev=1630939068&do=diff НАЧАЛА ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ---------- Теорема.Мультиномиальный коэффициент$$ \frac{n!}{n_1!\, n_2! \times \dots \times n_K!} \quad npu \quad n_1+ n_2+\dots +n_K=n $$является целым числом. Доказательство. Если $ p_{} $ --- простое число, то на основании теоремы Лежандра оно входит в каноническое разложение числа $ n_{j}! $ с показателем $$ \left\lfloor \frac{n_{j}}{p}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{n_{j}}{p^2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n_{j}}{p^3} \right\rfloor +\dots $$$ j\in\{1,\dots… text/html 2021-09-06T17:36:14+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/numtheory/vspom2?rev=1630938974&do=diff НАЧАЛА ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ---------- $ \operatorname{HOK}(A,B,C) $$ \operatorname{HOD} $ Ответ . $$ \operatorname{HOK}(A,B,C) = \frac{A\cdot B\cdot C \cdot \operatorname{HOD}(A,B,C) }{\operatorname{HOD}(A,B)\operatorname{HOD}(A,C)\operatorname{HOD}(B,C)} = \frac{A\cdot B\cdot C}{\operatorname{HOD}(A\cdot B,A\cdot C,B \cdot C)} \ . $$ Теорема$$ \operatorname{HOK}(A_1,A_2,A_3,\dots,A_N)= $$$$ = \prod_{j=1}^N A_j \times \left[\prod_{1\le j<k\le N} \operatorname{HOD}(A_j,A_k) \right]^{-1} \times $$… text/html 2020-05-09T17:06:21+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/numtheory/vspom3?rev=1589033181&do=diff НАЧАЛА ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ---------- Полиномиальные "генераторы" простых чисел Теорема.Если значение полинома степени$ 25 $от$ 26 $переменных $$ F(a,b,c,d,\dots,w)= $$ $$ =(k+2)\bigg\{1-[wz+h+j-q]^2-[(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z]^2-[2\,n+p+q+z-e]^2- $$ $$ -[16\,(k+1)^3(k+2)(n+1)^2+1-f^2]^2-[e^3(e+2)(a+1)^2+1-o^2]^2-[(a^2-1)y^2+1-x^2]^2-[16\,r^2y^4(a^2-1)+1-u^2]^2- $$ $$ - [((a+u^2(u^2-a))^{2}-1)(n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^2]^2-[n+\ell+v-y]^2-[(a^2-1)\ell^2+1-m^2]^2-[ai+k+1-\ell-i]^2- $$ $$ -[p+\ell (a-n-1)+b(… text/html 2020-03-11T14:00:21+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/numtheory/vspom5?rev=1583924421&do=diff $$p_1=1787678637463426125846358564325148564837474832477775871983420870947479065787477071, p_2=p_1+2 \ . $$