http://vmath.ru/vf5/ 2026-10-13T03:43:03+0300 http://vmath.ru/vf5/ http://vmath.ru/vf5/lib/tpl/vf5/images/favicon.ico text/html 2020-05-19T10:19:44+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/interpolation/dft/polynom_mult?rev=1589872784&do=diff Статус материалов: черновик. Умножение полиномов Идея ИНТЕРПОЛЯЦИЯ Задача. Заданы два полинома в канонической форме: $$ f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_{n}x^n,\ g(x)= b_0+b_1x+b_2x^2+\dots+b_{n}x^n ; $$ требуется построить каноническую форму полинома, равного их произведению: $$ h(x)=f(x)g(x)=c_0+c_1x+\dots+c_{2n}x^{2n} \ . $$$ (c_0,c_1,\dots,c_{2n}) $$ f_{}(x) $$ g_{}(x) $$ 2n+1 $$$ \begin{array}{c|ccccc} x & x_1 & x_2 & \dots & x_{2n+1} \\ \hline f(x) & f(x_1) & f(x_2) &\dots & f(x_{2n+1}) … text/html 2020-03-11T14:00:24+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/interpolation/dft/vspom1?rev=1583924424&do=diff Указатель --- Разделы--- Обозначения --- Автор --- О проекте ---------- ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ---------- Теорема.Тригонометрический полином$ n_{} $-го порядка, у которого старшие коэффициенты$ a_{n} $$ b_n $удовлетворяют условиям$ a_n+ \mathbf i b_n \ne 0, a_n- \mathbf i b_n \ne 0 $ имеет в точности$ 2n $$ x_{} $$$ \begin{matrix} g_n(x)=a_0 & + & a_1 \cos x + a_2 \cos 2x+\dots + a_n \cos nx + \\ \ &+&b_1 \sin x + b_2 \sin 2x+\dots + b_n \sin nx \end{matrix} $$$ z=e^{\mathbf i x}… text/html 2020-03-11T14:00:24+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/interpolation/dft/vspom2?rev=1583924424&do=diff Указатель --- Разделы--- Обозначения --- Автор --- О проекте ---------- ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ---------- Задача. Доказать, что функция $$ \begin{matrix} g_n(x)&=&y_1\frac{\displaystyle \sin\frac{x-x_2}{2}\times\dots \times\sin \frac{x-x_{2n+1}}{2}}{\displaystyle \sin \frac{x_1-x_2}{2}\times \dots \times \sin \frac{x_1-x_{2n+1}}{2}} + \\ &+&y_2\frac{\displaystyle \sin\frac{x-x_1}{2}\sin\frac{x-x_3}{2}\times \dots \times \sin\frac{x-x_{2n+1}}{2}}{\displaystyle \sin\frac{x_2-x_1}{2}\s… text/html 2020-03-11T14:00:24+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/interpolation/dft/vspom3?rev=1583924424&do=diff Указатель --- Разделы--- Обозначения --- Автор --- О проекте ---------- ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ---------- Теорема.Коэффициенты интерполяционного тригонометрического полинома порядка$ n_{} $$$ f_n(x)=a_0+\sum_{k=1}^n (a_k \cos k\,x + b_k \sin k\,x) \ , $$решающего задачу интерполяции$$ f_n(x_j)=y_j \quad npu \quad \left\{x_j=\frac{2(j-1)\pi}{2n+1}\right\}_{j=1}^{2n+1}, $$находятся по формулам$$ a_0=\frac{1}{2n+1}\sum_{j=1}^{2n+1}y_j, $$$$ a_k=\frac{2}{2n+1}\sum_{j=1}^{2n+1}y_j\cos \frac… text/html 2021-09-27T23:57:26+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/interpolation/dft/vspom4?rev=1632776246&do=diff ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ---------- Теорема.Если числа$ \{\lambda_1,\dots, \lambda_{2n} \} $при---корни тригонометрического полинома $$ g_n(x) = a_0+\sum_{k=1}^n (a_k\cos k\,x + b_k\sin k\,x) \ , $$ у которого старшие коэффициенты удовлетворяют условиям $ a_n+ \mathbf i b_n \ne 0, a_n- \mathbf i b_n \ne 0 $, то этот полином можно представить в виде$$ g_n(x) \equiv A \prod_{k=1}^{2n} \sin \frac{x-\lambda_k}{2} \ npu \ A=\pm 2^{2n-1}\sqrt{a_n^2+b_n^2} \ . $$$$ \sin \, nx \equiv 2^{n-1} \p…