VMath interpolation

Примеры формул Коши для рациональной интерполяции

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-07-12T11:22:07+0300

РАЦИОНАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ Примеры формул Коши для рациональной интерполяции Везде далее предполагается $ N=n+m+1 $. ---------- $ n =2, m=1 $: $$ p(x)=\frac{y_1y_2(x-x_3)(x-x_4)}{(x_1-x_3)(x_1-x_4)(x_2-x_3)(x_2-x_4)}+\frac{y_1y_3(x-x_2)(x-x_4)}{(x_1-x_2)(x_1-x_4)(x_3-x_2)(x_3-x_4)}+ $$ $$ +\frac{y_1y_4(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_4-x_2)(x_4-x_3)}+\frac{y_2y_3(x-x_1)(x-x_4)}{(x_2-x_1)(x_2-x_4)(x_3-x_1)(x_3-x_4)}+ $$ $$ +\frac{y_2y_4(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)(x_4-x_1)(x_4-x_3)}+…

Тригонометрическая интерполяция

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-05-11T21:01:17+0300

ИНТЕРПОЛЯЦИЯКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ПОЛИНОМ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тригонометрическая интерполяция Этот раздел посвящен периодическим функциям. Они рассматриваются для случая периода равного $ 2\pi_{} $, к которому можно свести общий случай соответствующей заменой переменной ($ x_{} $$$ \begin{matrix} g_n(x)=a_0 & + & a_1 \cos x + a_2 \cos 2x+\dots + a_n \cos nx + \\ \ &+&b_1 \sin x + b_2 \sin 2x+\dots + b_n \sin nx = \end{matrix} $$$$ =a_0 + \sum_{k=1}^n (a_k \cos\, kx+ b_k \sin \, kx) \ . $$$ a…

Метод наименьших квадратов

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-06-07T22:41:22+0300

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ---------- Метод наименьших квадратов Пусть из физических соображений можно считать (предполагать), что величины $ x_{} $ и $ y_{} $ связаны линейной зависимостью вида $ y=a\,x+b $$ a $$ b_{} $$ m>1 $$ (x_1,y_1), \dots, (x_m,y_m) $$ m_{} $$ a $$ b_{} $$$ y_1=a\,x_1+b, \dots, y_m=a\,x_m+b \ . $$$ a_{} $$ b_{} $$ x_{1},\dots,x_m $$ y_1,\dots,y_m $$ m>2 $$ x_{i} $$ x_j $$ (x_{i},y_i) $$ (x_{j},y_j) $$ a\,x_i+b-y_i $$ a_0 $$ b_{0} $$$ a\,x_1+b=y_1,\dots, a\,x_{m}+b=y_m $$$$ \begi…

Проблема моментов

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-06-08T22:03:23+0300

Проблема моментов Задача. Дана последовательность вещественных чисел $$ \{\mathbb c \}= c_0,c_1,\dots \, .$$ Требуется определить числа $$ \mu_1, \dots , \mu_m \quad \mbox{ и } \quad u_1,\dots, u_m $$ такие, чтобы выполнялись равенства $$ c_k=\sum_{j=1}^m \mu_j u_j^k \quad \mbox{ при } \quad \ k\in \{0,1,2,\dots \} \, \qquad {\color{Red}{ (1)} } $$$ \{\mu_j,u_j\} $$ x^{-1} $$$ \sum_{j=1}^m \frac{\mu_j}{x-u_j} = \frac{c_0}{x}+\frac{c_1}{x^2}+\frac{c_2}{x^3}+ \dots $$$ 2 m $$ g(x)/f(x) …

Детерминантный вывод интерполяционного полинома в форме Ньютона

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-01-06T12:10:59+0300

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ ПОЛИНОМ В ФОРМЕ НЬЮТОНА ---------- Детерминантный вывод интерполяционного полинома в форме Ньютона Для пояснения идеи обратимся к представлению интерполяционного полинома в детерминантной форме, с которой мы стартовали при выводе $$ f(x) \equiv \left| \begin{array}{llrrrr} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{n-1} & -y_1 \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-1} & -y_2 \\ \dots & & & & & \dots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-1} & -y_n \\ 1 & x & x^2 & \dots & x^{n-1} & 0 \e…

Теорема Пирсона

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-12-23T11:51:05+0300

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ---------- Теорема Пирсона Задача 1. На плоскости $ \mathbb R^2 $ найти точку, сумма квадратов расстояний до которой от точек $ P_1=(x_{1},y_1),\dots, P_n=(x_n,y_n) $ минимальна. Теорема 1.Координаты искомой точки определяются средними значениями координат точек$ \{ P_j\}_{j=1}^n $$$ \overline{x}=\frac{x_1+x_2+ \dots+x_n}{n},\quad \overline{y}=\frac{y_1+y_2+ \dots+y_n}{n}\ . $$$ \{P_j=(x_j,y_j)\}_{j=1}^n $$ \delta_j $$ P_j $$$ ax+by+c=0 \, , $$$$ \min_{(a,b,c)\in \mathbb R^3} …

Задачи

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2025-09-14T11:25:02+0300

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ---------- Задачи Построить полином наименьшей степени, дающий при делении на $ x^2+x+1 $ в остатке $ -x-1 $, при делении на $ x^2+2\,x+2 $ --- в остатке $ -5\,x-1 $, а при делении на $ x^2-x+1 $ --- в остатке $ x+1 $$ x^{81}+x^{49}+x^{25}+x^9+x $$ x^3-x $$ \{x_1,\dots, x_n\} $$$ W(x)=\prod_{j=1}^n (x-x_j) \, . $$$$ \sum_{j=1}^n \frac{1}{x_j W^{\prime}(x_j)}= \frac{(-1)^{n-1}}{\displaystyle \prod_{j=1}^n x_j} \, . $$$$ W(x)=\prod_{j=1}^n (x-x_j) \quad \mbox{при} \ \{x_j=x_1+(j-…

Рациональная интерполяция по методу Якоби

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-05-06T10:10:51+0300

РАЦИОНАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ПОЛИНОМЫ Рациональная интерполяция по методу Якоби Задача. Для таблицы значений $$ \begin{array}{c|ccccc} x & x_1 & x_2 & \dots & x_N \\ \hline y & y_1 & y_2 &\dots & y_N \end{array} $$ построить рациональную функцию в виде $ f(x)=p(x)/q(x) $ при $ p_{}(x) $ --- полиноме степени $ \le n $$ q_{}(x) $$ \le m $$ \{ f(x_j)=y_j \}_{j=1}^N $$ N,n,m $$$ N=m+n+1 \, . $$$$ \{ p(x_j)/q(x_j)=y_j \}_{j=1}^N $$$$ \{ p(x_j)=y_jq(x_j) \}_{j=1}^N \…

Разделение секрета

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-03-25T22:43:01+0300

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ---------- Разделение секрета "Преодолевавшая свое невежество цивилизация жаждала письменных формулировок. Более мощные коллективы, прежде всего городские группы, требовали фиксирования законов, туманный характер которых приводил к стольким злоупотреблениям. Перегруппировка социальных элементов в большие государства или в крупные княжества была благоприятна не только для возрождения законодательства, но также для распространения на обшрные территории унифицирующей юриспруденц…

Аппроксимация сигнума

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-05-06T10:05:45+0300

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ Аппроксимация сигнума Аппроксимируем сигнум, т.е. ступенчатую функцию $$ y=\operatorname{sign}\, (x) = \left\{ \begin{array}{rcc} +1 & \mbox{при} & x>0; \\ 0 & \mbox{при} & x=0 ; \\ -1 & \mbox{при} & x<0. \end{array} \right. $$ на отрезке $ [-1,1] $ интерполяционным полиномом по таблице значений $$ \left\{x_j = -1 + \frac{2(j-1)}{19} \right\}_{j=1}^{20} , \ y_j = \left\{ \begin{array}{cc} -1 & \mbox{при}\ j\in \{1,\dots,10 \} \\ +1 & \mbox{при} \ j\…

interpolation:symm

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-02-26T10:17:43+0300

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ---------- $ 0_{} $ $$ \begin{array}{c|cccccccc} x & -x_n & -x_{n-1} & \dots & -x_1 & x_1 & \dots & x_{n-1} & x_n \\ \hline y & y_{-n} & y_{-(n-1)} &\dots & y_{-1} & y_1 & \dots & y_{n-1} & y_n \end{array} $$ Решение. Теорема о существовании интерполяционного полинома гарантирует, что существует полином $ f_{}(x) $ степени $ \le 2n-1 $, принимающий значения по данной таблице. Разобьем этот полином на сумму четных и нечетных одночленов: если $$ f(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_{2n-1…

Полиномиальная интерполяция при наличии систематических ошибок в таблице

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2025-11-30T09:31:37+0300

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ---------- Полиномиальная интерполяция при наличии систематических ошибок в таблице Задача полиномиальной интерполяции при наличии в таблице несистематических погрешностей в значениях функции решается $ f(x) $$$ \begin{array}{c||c|c|c|c} x & x_1 & x_2 & \ldots & x_N \\ \hline y & \widehat y_1 & \widehat y_2 & \ldots & \widehat y_N \end{array} \quad npu \ \{ y_j=f(x_j)\}_{j=1}^N $$$$ \begin{array}{c||c|c|c|c} x & x_1 & x_2 & \ldots & x_N \\ \hline y & y_1 & …

interpolation:vspom1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-10-27T21:01:02+0300

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ---------- $$ \begin{array}{c|ccccccccccccccccccccc} x =\frac{2}{21}\pi \times & \scriptstyle 1 & \scriptstyle 2 & \scriptstyle 3 & \scriptstyle 4 & \scriptstyle 5 & \scriptstyle 6 & \scriptstyle 7 & \scriptstyle 8 & \scriptstyle 9 & \scriptstyle 10 & \scriptstyle 11 & \scriptstyle 12 & \scriptstyle 13 & \scriptstyle 14 & \scriptstyle 15 & \scriptstyle 16 & \scriptstyle 17 & \scriptstyle 18 & \scriptstyle 19 & \scriptstyle 20 & \scriptstyle 21 …