http://vmath.ru/vf5/ 2026-10-13T03:44:30+0300 http://vmath.ru/vf5/ http://vmath.ru/vf5/lib/tpl/vf5/images/favicon.ico text/html 2020-03-11T14:00:26+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/gruppe/galois/factor?rev=1583924426&do=diff Указатель --- Разделы--- Обозначения --- Автор --- О проекте ---------- Вспомогательная страница к разделу ☞ ПОЛЯ ГАЛУА. Сложный для понимания материал! ---------- Факторизация полиномов над конечными полями $ \mathbf{GF}(q) $$ q=p^m $$ p_{} $$ m \in \mathbb N $$ \mathbb F_q $$ g_{}(x) $$ \ge 1 $$ \mathbb F $$$ g(x)\equiv a_0 \Phi_1^{{\mathfrak m}_1}(x) \Phi_2^{{\mathfrak m}_2} (x) \times \dots \times \Phi_K^{{\mathfrak m}_K}(x) \ , $$$ \Phi_1(x),\dots , \Phi_K(x) $$ \mathbb F_{} $$ \{ {\ma… text/html 2021-04-05T09:36:21+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/gruppe/galois/vspom1?rev=1617604581&do=diff ПОЛЯ ГАЛУА ---------- Поле GF(64) Факторизация полиномов Пример.$ x^{64}-x $$ 2_{} $ Решение. С помощью результатов пункта УРАВНЕНИЕ ДЕЛЕНИЯ КРУГА раскладываем полином на неприводимые множители над $ \mathbb Z_{} $$$ x^{64}-x \equiv x(x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) \times $$$$ \times \underbrace{(x^{12}-x^{11}+x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1)}_{X_{_{21}}(x)}\underbrace{(x^{36}-x^{33}+x^{27}-x^{24}+x^{18}-x^{12}+x^9-x^3+1)}_{X_{_{63}}(x)} \ . $$$ 2_{} $$ 6_{} $$$ \xi(1)=2,\ \xi(2)… text/html 2022-03-30T16:52:13+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/gruppe/galois/vspom2?rev=1648648333&do=diff ПОЛИНОМЫ, НЕПРИВОДИМЫЕ ПО МОДУЛЮпервообразный кореньИНДЕКС (ДИСКРЕТНЫЙ ЛОГАРИФМ) ---------- Примитивные элементы поля В поле Галуа первообразным корнем степени n из единицы называется элемент $ \mathfrak a $, который удовлетворяет условиям $$ \mathfrak a^n=\mathfrak e \ , \mathfrak a^k \ne \mathfrak e \quad npu \quad k\in \{1,2,\dots,n-1\} \ . $$$ \mathfrak a $$ \mathbf{GF} (p^m) $$ p^m-1 $$ \mathbf{GF} (p^m) $$ p^m-1 $$ \mathfrak a \in \mathbf{GF} (p^m), \mathfrak a \ne \mathfrak o $$ n_{}… text/html 2022-03-30T16:54:00+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/gruppe/galois/vspom3?rev=1648648440&do=diff ПОЛЯ ГАЛУА ---------- Поле GF(16) Задача. Исследовать поле $ \mathbf{GF}(16) $ для разных выборов неприводимых полиномов $ 4_{}- $й степени. Поле содержит $ 16_{} $ элементов: полиномов вида $ A_0x^3+A_1x^2+A_2x+A_3 $$ \{A_0,A_1\} \in \{1,2\} $$ x^{16}-x $$ 2_{} $$$ x^{16}-x \equiv_{_{2}} x(x-1)(x^2+x+1)\underbrace{(x^4+x+1)}_{\equiv f_{_1}(x)}\underbrace{(x^4+x^3+1)}_{\equiv f_{_2}(x)} \underbrace{(x^4+x^3+x^2+x+1)}_{\equiv f_{_3}(x)}\ . $$$ f_j(x) $$ 4_{} $$ 2,f_j(x) $$ \{\mathfrak A^{k} \q… text/html 2022-11-16T15:17:37+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/gruppe/galois/vspom4?rev=1668601057&do=diff English version ---------- Раздел создан при поддержке компании RAIDIX ---------- ПОЛЯ ГАЛУА--- ---------- Поле Галуа GF(16) (версия для программистов) Итак, поле $ \mathbf{GF}(16) $ cостоит из $ 16 $ элементов, которые мы будем обозначать малыми готическими буквами $ \mathfrak a,\mathfrak b, \mathfrak c,\dots $$ \mathfrak a=(A_0,A_1,A_2,A_3) $$ \{A_j\}_{j=0}^3 \subset \{0,1\} $$ 2_{} $$$ \mathfrak a+\mathfrak b=(A_0,A_1,A_2,A_3)\oplus (B_0,B_1,B_2,B_3)= $$$$ =(A_0+B_0 \pmod {2},A_1+B… text/html 2020-03-11T14:00:26+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/gruppe/galois/vspom5?rev=1583924426&do=diff Поле Галуа GF(8) с умножением задаваемым по двойному модулю $ 2, f(x)=x^3+x+1 $. Через $ \mathfrak A $ обозначен произвольный примитивный элемент поля, удовлетворяющий уравнению $ f(\mathfrak A)=\mathfrak o $$$ \begin{array}{l||l|c|c|c|c|c|c} & 1 & \mathfrak A & \mathfrak A +1 & \mathfrak A^2 & \mathfrak A^2+1 & \mathfrak A^2+\mathfrak A & \mathfrak A^2+\mathfrak A + 1 \\ \hline AF & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \end{array} $$$$ \begin{array}{l||c|c|c|c|c|c|c} AF & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ … text/html 2023-03-21T23:59:07+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/gruppe/galois/vspom6?rev=1679432347&do=diff Поле Галуа ---------- Разреженные полиномы, неприводимые по модулю 2 ---------- $$ x^2+x+1 $$ ---------- $$ x^3+x+1 $$ ---------- $$ x^4+x+1 $$ ---------- $$x^5+x^2+1 $$ ---------- $$x^6+x+1 $$ ---------- $$x^7+x^3+1 $$ ---------- $$ x^8+x^4+x^3+x^2+1; \quad x^8+x^4+x^3+x+1 $$ ---------- $$ x^9+x^4+1 $$ ---------- $$ x^{10}+x^3+1 $$ ---------- $$x^{11}+x^2+1 $$ ---------- $$x^{12}+x^3+1 $$$$x^{13}+x^4+x^3+x+1 $$$$x^{14}+x^5+1 $$$$x^{15}+x+1 $$$$ x^{16}+x^{5}+x^3+x+1 $$$ \ld…