http://vmath.ru/vf5/ 2026-10-13T03:41:56+0300 http://vmath.ru/vf5/ http://vmath.ru/vf5/lib/tpl/vf5/images/favicon.ico text/html 2023-04-06T16:22:56+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/diffgeom/seminar1?rev=1680787376&do=diff Касательная, нормальная плоскость, соприкасающаяся плоскость, бинормаль, главная нормаль, репер Френе Краткие теоретические сведения Кривая в пространстве $\gamma$$\gamma:\, \vec{r}=\vec{r}(t)$$\gamma:\,\, x=x(t),\, y=y(t),\, z=z(t)$$M$$t=t_0$\begin{equation*} \vec{r_0}=\vec{r}(t_0), \quad x_0=x(t_0),\, y_0=y(t_0), \, z_0=z(t_0). \end{equation*}$M$$ \vec{r'}(t_0)\neq\vec{0}$$M$$M$$\vec{r'}(t_0)$$\vec{R}$\begin{equation*} \vec{R}=\vec{r}(t_0)+\lambda\vec{r'}(t_0). \end{equation*}$\lambda\… text/html 2026-03-05T22:01:14+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/diffgeom/seminar2?rev=1772737274&do=diff Длина дуги. Натуральный параметр Краткие теоретические сведения Если $\gamma$ --- дуга гладкой кривой и $\vec{r}=\vec{r}(t)$, $t\in[a,b]$ --- ее параметризация, то длина этой дуги $s(\gamma)$$$ s(\gamma)=\int\limits_a^b|\vec{r'}(t)|dt. $$$s$$s$$\vec{r}=\vec{r}(s)$$s\in[\alpha,\beta]$$$ x=\mbox{ch }t,\,\, y=\mbox{sh }{t},\,\, z=t, $$$0$$t$\begin{align*} \vec{r}(t)&=\left\{ \mbox{ch }t,\, \mbox{sh }{t},\, t\right\} \,\, \Rightarrow \\ \vec{r'}(t)&=\left\{ \mbox{sh }{t},\, \mbox{ch }{t},\, 0\r… text/html 2026-03-13T19:44:10+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/diffgeom/seminar3?rev=1773420250&do=diff Кривизна и кручение. Натуральные уравнения кривой Краткие теоретические сведения Кривизна кривой Кривизной $k$ кривой в данной точке называют модуль скорости вращения касательной по отношению к длине дуги.$\gamma$$\vec{r}=\vec{r}(t)$$$ |k(t)|=\frac{|\vec{r'}(t)\times \vec{r''}(t)|}{|\vec{r'(t)}|^3}. $$$$ x=x(t), \,\, y=y(t), \,\, z=z(t), $$$P(t=t_0)$$$ k^2(t_0)=\frac{\left| \begin{array}{cc} y' & z' \\ y''& z'' \\ \end{array}… text/html 2026-03-13T19:50:35+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/diffgeom/seminar4?rev=1773420635&do=diff Соприкасающаяся окружность. Эволюта, эвольвента Краткие теоретические сведения Соприкосновение $k$-того порядка Две кривые $$ \gamma_1: \vec{r}_1=\vec{r}_1(t)\,\, \mbox{и} \,\, \gamma_2: \vec{r}_2=\vec{r}_2(t) $$ имеют в общей точке $M_0$\begin{equation*} \frac{d\vec{r}_1}{dt}=\frac{d\vec{r}_2}{dt}, \ldots, \frac{d^k\vec{r}_1}{dt^k}=\frac{d^k\vec{r}_2}{dt^k},\, \frac{d^{k+1}\vec{r}_1}{dt^{k+1}}\neq\frac{d^{k+1}\vec{r}_2}{dt^{k+1}}. \end{equation*}$\gamma$$M_0 (t=t_0)$$M_0$$\gamma$$M_0$$M… text/html 2021-06-14T10:47:40+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/diffgeom/seminar5?rev=1623656860&do=diff Поверхности. Касательная плоскость и нормаль Краткие теоретические сведения Способы задания поверхностей Рассматриваем вектор--функцию двух скалярных аргументов: $$\vec{r}=\vec{r}(u,v).$$$$\vec{r}=\vec{r}(u,v).$$$$x=x(u,v),\,\, y=y(u,v),\,\, z=z(u,v).$$$$\varPhi(x,y,z)=0.$$$$z=z(x,y).$$$k$$x(u,v), y(u,v),z=z(u,v)$$k$$k=1$$\vec{r}=\vec{r}(u,v)$$$ u=u(t),\,\, v=v(t).$$$u=\mbox{const}$$v=\mbox{const}$\begin{equation*} x=u+v, \,\, y=u-v,\,\, z=uv. \end{equation*}$A(4,2,3)$$B(1,4,-2)$$A$$B$\be… text/html 2021-06-14T10:47:26+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/diffgeom/seminar6?rev=1623656846&do=diff Огибающая однопараметрического семейства поверхностей. Ребро возврата Краткие теоретические сведения Дано: - кривая $\gamma$: $x=x(t),\, y=y(t),\, z=z(t)$, - поверхность $\varPhi(x,y,z)=0$$M(t_0)$$M(t)$$\gamma$$M(t_0)$$\varPhi(x(t),y(t),z(t))$$t\to t_0$$t-t_0$$k+1$$k$\begin{equation*} F(x,y,z,C)=0. \end{equation*}\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lcl} F(x,y,z,C)& = &0, \\ F'_C (x,y,z,C)& = &0. \\ \end{array} \right. \end{equation*}$… text/html 2021-06-14T10:45:57+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/diffgeom/seminar7?rev=1623656757&do=diff Первая квадратичная форма Краткие теоретические сведения \begin{align*} I_1 &= \left(d\vec{r}\right)^2=\left(\vec{r}_udu+\vec{r}_vdv\right)^2=\\ &=(\vec{r}_u,\vec{r}_u)\,du^2+2(\vec{r}_u,\vec{r}_v)\,du\,dv+(\vec{r}_v,\vec{r}_v)\,dv^2. \end{align*} Обычно коэффициенты первой квадратичной формы обозначают $E$, $F$, $G$: \begin{align*} I_1&=E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2,\\ E&=(\vec{r}_u,\vec{r}_u)=x_u^2+y_u^2+z_u^2,\\ F&=(\vec{r}_u,\vec{r}_v)=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v,\\ G&=(\vec{r}_v,\vec{r}_v)=x_v^2+y… text/html 2021-06-14T10:45:45+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/diffgeom/seminar8?rev=1623656745&do=diff Длина дуги, угол между линиями, площадь области на поверхности Краткие теоретические сведения Зная первую квадратичную форму поверхности, мы можем решить три задачи:\begin{equation*} s=\int\limits_{t_1}^{t_2}|\vec{r'}(t)dt|=\int\limits_{P_1}^{P_2}|d\vec{r}(u,v)|=\int\limits_{P_1}^{P_2}\sqrt{I_1}. \end{equation*}\begin{equation*} s=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{E\left(\frac{du}{dt}\right)^2+2F\frac{du}{dt}\frac{dv}{dt}+G\left(\frac{dv}{dt}\right)^2}dt. \end{equation*}$I_1=E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,d… text/html 2021-06-14T10:45:31+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/diffgeom/seminar9?rev=1623656731&do=diff Вторая квадратичная форма Краткие теоретические сведения \begin{gather*} I_2 = -d\vec{r}\cdot d\vec{n}=d^2\vec{r}\cdot \vec{n}. \end{gather*} Равенство $-d\vec{r}\cdot d\vec{n}=d^2\vec{r}\cdot \vec{n}$ можно доказать: \begin{equation*} d\vec{r}\cdot \vec{n}=0\,\, \Rightarrow \,\, d(d\vec{r}\cdot \vec{n})=(d^2\vec{r}\cdot \vec{n})+(d\vec{r}\cdot d\vec{n})=0 \end{equation*} Так как \begin{equation*} I_2 = d^2\vec{r}\cdot \vec{n} \end{equation*} и \begin{equation*} \vec{n}=\frac{\ve… text/html 2022-01-08T10:02:19+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/diffgeom/seminar10?rev=1641625339&do=diff Линейчатые поверхности. Поверхности вращения Краткие теоретические сведения Поверхность, допускающая параметризацию вида: \begin{equation*} \vec{R}=\vec{\rho}(u)+v\vec{\mu}(u), \end{equation*} где $\vec{\rho}$, $\vec{\mu}$ --- гладкие вектор-функции, называется $u=\mbox{const}$$\vec{\mu}(u)$$\vec{\rho}=\vec{\rho}(u)$$\vec{\rho}=\vec{\rho}(u)$$\vec{\mu}=\vec{e}$\begin{equation*} \vec{R}=\vec{\rho}(u)+v\vec{e}. \end{equation*}$M(\vec{\rho}_0)$$\vec{\rho}=\vec{\rho}(u)$$\vec{\mu}=\vec{\rh… text/html 2021-06-14T10:48:35+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/diffgeom/seminars?rev=1623656915&do=diff Дифференциальная геометрия Касательная, нормальная плоскость, соприкасающаяся плоскость, бинормаль, главная нормаль, репер Френе Длина дуги. Натуральный параметр Кривизна и кручение. Натуральные уравнения кривой Соприкасающаяся окружность. Эволюта, эвольвента Поверхности. Касательная плоскость и нормаль Огибающая однопараметрического семейства поверхностей. Ребро возврата Первая квадратичная форма Длина дуги, угол между линиями, площадь области на поверхности Вторая квадратичная форма. …