VMath dets:gram

Задачи

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-06-15T19:20:13+0300

МАТРИЦА И ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ГРАМА ---------- Задачи Пусть $ \{X_{1},\dots,X_n, Y_1,\dots,Y_n \} $ --- произвольная система векторов $ n_{} $-мерного пространства $ \mathbb E_{} $. Доказать, что $$ {\mathfrak G}(X_1,\dots,X_n){\mathfrak G}(Y_1,\dots,Y_n)= \left| \begin{array}{cccc} \langle X_1,Y_1 \rangle & \langle X_1,Y_2 \rangle & \dots & \langle X_1,Y_n \rangle \\ \langle X_2,Y_1 \rangle & \langle X_2,Y_2 \rangle & \dots & \langle X_2,Y_n \rangle \\ \dots & && \dots \\ \langle X_n,Y_1 \rangle &…

dets:gram:vspom2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-24T16:33:47+0300

МАТРИЦА И ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ГРАМА ---------- Теорема.$ {\mathfrak G}(X_{1},\dots,X_m) \ge 0 $для любой системы векторов$ \{X_{1},\dots,X_m \} $ Доказательство. Если система $ \{X_1,\dots,X_m \} $ линейно зависима, то $ \mathfrak{G}(X_1,\dots,X_m)= 0 $ по теореме, доказанной ЗДЕСЬ. Пусть система $ \{X_1,\dots,X_m \} $ линейно независима. Это означает, что при любом ненулевом наборе скаляров $ \alpha_1,\dots,\alpha_m $$ Y=\alpha_1 X_1+\dots+\alpha_m X_m $$ Y \ne \mathbb O $$$ 0<\langle Y,Y \rangle=\u…

dets:gram:vspom3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-06-24T00:31:17+0300

МАТРИЦА И ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ГРАМА ---------- Теорема.Пусть$ X_m^{^{\bot}} $означает ортогональную составляющую вектора$ X_m $относительно$ {\mathcal L}(X_1,\dots,X_{m-1}) $Тогда $$ \mathfrak{G}(X_1,\dots,X_{m-1},X_m)=\mathfrak{G}(X_1,\dots,X_{m-1})\left|X_m^{^{\bot}} \right|^2 \ . $$ Доказательство. Обозначим $ X_m^{^{\parallel}} $ ортогональную проекцию вектора $ X_m $ на $ {\mathcal L}(X_1,\dots,X_{m-1}) $; таким образом: $ X_m=X_m^{^{\parallel}}+X_m^{^{\bot}} $. Поскольку $ X_m^{^{\bot}} \bot …