VMath dets

Дискриминант

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2025-04-20T23:00:54+0300

Discriminant (лат.) --- различающий, разделяющий; слово дискриминация$ f(x)=a_{0}x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n, (n>1, a_0\ne 0) $$$ {\mathcal D}(f)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_0}{\mathcal R}(f(x),f^{\prime}(x)) \ . $$$ \{ \lambda_{1},\dots,\lambda_n \} $$ f_{}(x) $$$ {\mathcal D}(f) =(-1)^{n(n-1)/2} a_0^{n-2}\prod_{j=1}^n f^{\prime}(\lambda_j)= a_0^{2n-2} \prod_{1\le j < k \le n} (\lambda_k - \lambda_j)^2 \ . $$$ {\mathcal D}(f_{}) = 0 $$ f_{}(x) $$$ {\mathcal D}(a_0x^2+a_1x+a_2)=\frac{1}{a_0}\left|\be…

Геометрические приложения определителя

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-06-15T19:21:24+0300

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ---------- Геометрические приложения определителя Уравнения кривых и поверхностей Уравнение прямой, проходящей через точки плоскости с координатами $ (x_{1},y_1) $$ (x_{2},y_2) $$$ \left| \begin{array}{lll} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{array} \right|=0 \qquad \iff \qquad \left| \begin{array}{ll} x-x_1 & y-y_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 \end{array} \right|=0 . $$$ (x_{1},y_1) , (x_2,y_2) $$ (x_{3},y_3) $$$ \left| \begin{array}{llll} x^2+y^2 & x & y & 1 \\ x_…

Матрица и определитель Грама

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-12-01T11:13:31+0300

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО ---------- Матрица и определитель Грама Пусть в евклидовом пространстве $ \mathbb E_{} $ известным образом задано скалярное произведение $ \langle X_{},Y \rangle $. Матрицей Грама системы векторов $ \{X_{1},\dots,X_m \} $ называется квадратная матрица, состоящая из всевозможных скалярных произведений этих векторов: $$ G(X_1,\dots,X_m)= \left( \begin{array}{cccc} \langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle & \dots & \langle X_1,X_m \rangle \\ \langle X_2,X_1 \ran…

Неприводимость определителя

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-09-27T23:32:16+0300

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ---------- Неприводимость определителя Теорема.Определитель, рассматриваемый как полином относительно своих элементов, является неприводимым. Доказательство.$ \det A_{} $$$ f_1(a_{11},a_{12},\dots,a_{nn}) f_2(a_{11},a_{12},\dots,a_{nn}) $$$ \det A_{} $$ f_{1} $$ a_{11}^{} $$ f_{2} $$ a_{11}^{} $$ a_{11}^{} $$ f_{2} $$ a_{j1}^{} $$ a_{1k}^{} $$ a_{jk}^{} $$ f_2 $$ j_{} $$ k_{} $$ f_{1} $$ a_{j1}^{} $$ a_{1k}^{} $$ f_{1} $$ f_{2} $$ \det A_{} $…

Результант

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2025-12-13T18:01:27+0300

English version ПОЛИНОМ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙОПРЕДЕЛИТЕЛЬ Результант Будем обозначать через $ \mathbb A_{} $ какое-либо из множеств $ \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R_{} $ или $ \mathbb C_{} $. Результант в форме Сильвестра Для полиномов $ f(x)=a_{0}x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n $ и $ g(x)=b_{0}x^m+b_1x^{m-1}+\dots+b_m $ при $ a_{0}\ne 0, b_0\ne 0 $ рассмотрим квадратную матрицу порядка $ m+n_{} $$$ M=\left(\begin{array}{cccccccccc} a_0&a_1&a_2&\ldots&\ldots&a_n&0&\dots &0 &0\\ 0&a_0&a_1&\ldots&\ldo…

Тождества Сильвестра для определителя

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-07T18:56:11+0300

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ---------- Тождества Сильвестра для определителя Теорема 1.Рассмотрим определитель матрицы$ n_{} $-го порядка$ A=[a_{ij}]_{i,j=1}^n $$ A_{ij} $$ k_{} $$ k_{} $$$ \left|\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1k} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2k} \\ \dots & & & \dots \\ A_{k1} & A_{k2} & \dots & A_{kk} \end{array} \right|= (\det A)^{k-1} \left|\begin{array}{llll} a_{k+1,k+1} & a_{k+1,k+2} & \dots & a_{k+1,n} \\ a_{k+2,k+1} & a_{k+2,k+2} & \dots & a_{k+2,n} \\ \dots & & &…

Вронскиан и его применения

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-09-28T20:57:28+0300

Вронскиан и его применения Вронскианом системы функций $ \{u_1(x),\dots,u_n(x)\} $ называется определитель $$ W(u_1(x),\dots,u_n(x))= \left| \begin{array}{llll} u_1(x) & u_2(x) & \dots & u_n(x) \\ u_1^{\prime}(x) & u_2^{\prime}(x) & \dots & u_n^{\prime}(x) \\ u_1^{\prime \prime}(x) & u_2^{\prime \prime}(x)&\dots& u_n^{\prime \prime}(x)\\ \dots & & & \dots \\ u_1^{(n-1)}(x) &u_2^{(n-1)}(x) &\dots & u_n^{(n-1)}(x) \end{array} \right| \ ; $$ (функции предполагаются $ (n-1) $ раз дифференцируемы…