http://vmath.ru/vf5/ 2026-10-13T03:41:43+0300 http://vmath.ru/vf5/ http://vmath.ru/vf5/lib/tpl/vf5/images/favicon.ico text/html 2022-06-14T19:10:25+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/complex_num/circlediv?rev=1655223025&do=diff КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫПОЛИНОМ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ---------- Уравнение деления круга --- это уравнение $ z^n-1=0 $, рассматриваемое относительно комплексной переменной $ z_{} $. Его корнями являются корни $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $$$ \varepsilon_k = \cos \frac{2 \pi k}{n} + \mathbf i \sin \frac{2 \pi k}{n} \quad npu \quad k\in \{0,1,\dots,n-1\} \ . $$$ n\ge 2 $$ z^n-1 $$$ \begin{array}{lcl} z^2-1 & \equiv & (z-1)(z+1) \ ; \\ z^3-1 & \equiv & (z-1)(z^2+z+1)\ ; \\ z^9-1 & \equiv & (z-1)(z^2+z+1)(z… text/html 2021-02-14T11:27:15+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/complex_num/problems?rev=1613291235&do=diff КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ---------- Задачи Вычислить $ \sqrt[\normalsize{4}]{3+4 \mathbf i } $ . text/html 2021-01-09T13:23:09+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/complex_num/riemann?rev=1610187789&do=diff Многозначные комплексные функции На примере решения задачи об извлечении корня из комплексного числа $ z $ мы столкнулись с проблемой неоднозначности ответа: формальное определение числа $ w $$ w^n = z $$ n $$ 4 $$ \sqrt{x} $$ x\ge 0 $$ x \in [0,+\infty [ $$ x $$ x=4 $$ 2 $$ \sqrt{z} $$ z= \rho ( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi ) $$$ \sqrt{z} = \sqrt{\rho} \left(\cos \frac{\varphi}{n} + \mathbf i \sin \frac{\varphi}{n}\right) \, . $$$ \sqrt{1}=1 $$ z $$ z = 1 $$ \sqrt{z} $$ 1 $$ \sq… text/html 2020-04-29T20:44:03+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/complex_num/vspom1?rev=1588182243&do=diff КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА$ \cos \varphi + \cos 3\, \varphi + \dots + \cos (2n-1)\varphi $ Ответ. $ \sin (2n\varphi)/(2 \sin \varphi) $. text/html 2020-12-02T14:35:05+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/complex_num/vspom2?rev=1606908905&do=diff КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ---------- Выражение $ \cos^n \varphi $ и $ \sin^n \varphi $ через косинусы и синусы кратных углов Задача. Выразить $ \cos^n \varphi $ и $ \sin^n \varphi $ через косинусы и синусы кратных углов, т.е. через $$ \cos \varphi,\sin \varphi,\cos 2\varphi , \sin 2\varphi ,\dots, \cos n\varphi , \sin n\varphi \, . $$$ n=6 $$ z= \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi $$$ z^k+\frac{1}{z^k}=2\, \cos k \varphi \ npu \ k \in \mathbb N \ . $$$ (z+1/z)^6 $$ 2^6 \cos^6 \varphi $$$ (z+1/z… text/html 2020-10-31T20:51:54+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/complex_num/vspom3?rev=1604166714&do=diff КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ---------- $ n_{} $$ 1_{} $ Решение. Пусть $ n>1 $. Если $$ \varepsilon_k=\cos \frac{2\pi k}{n} + \mathbf i \sin \frac{2\pi k}{n} \quad \mbox{при} \quad k\in\{0,1,\dots,n-1\} \ , $$ то, по формуле Муавра, $ \varepsilon_k = \varepsilon_1^k $. $$ \varepsilon_0+\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_{n-1}=1+\varepsilon_1+ \varepsilon_1^2+\dots+\varepsilon_1^{n-1}=\frac{\varepsilon_1^{n}-1}{\varepsilon_1-1}=0 $$ поскольку $ \varepsilon_1^n =1 $. Ответ. $ 0_{} $ при $ n>1 $. $ \varepsilo… text/html 2025-03-28T12:47:20+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/complex_num/vspom4?rev=1743155240&do=diff Вспомогательная страница к разделу КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ---------- При $ n_{} $ --- нечетном справедлива формула Ньютона $$ 2 \sin \, n \varphi = n (2\, \sin \varphi) - \frac{n(n^2-1)}{4\cdot 6} (2\, \sin \varphi)^3 + \frac{n(n^2-1)(n^2-9)}{4\cdot6\cdot 8 \cdot 10} (2\, \sin \varphi)^5- \frac{n(n^2-1)(n^2-9)(n^2-25)}{4\cdot6\cdot 8 \cdot 10\cdot 12 \cdot 14} (2\, \sin \varphi)^7+\dots $$ " Источник. Никифоровский В.А. Из истории алгебры XVI-XVII вв.…