http://vmath.ru/vf5/ 2026-10-13T03:43:06+0300 http://vmath.ru/vf5/ http://vmath.ru/vf5/lib/tpl/vf5/images/favicon.ico text/html 2020-03-11T23:27:13+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/algebra2/dets/integer?rev=1583958433&do=diff Некоторые целочисленные определители Определитель Смита $$ \det [\operatorname{HOD} (j,k)]_{j,k=1}^n = \prod_{\ell=1}^n \phi(\ell) = n! \left( \frac{1}{2} \right)^{\lfloor n/2 \rfloor} \left( \frac{2}{3} \right)^{\lfloor n/3 \rfloor}\left( \frac{4}{5} \right)^{\lfloor n/5 \rfloor}\left( \frac{6}{7} \right)^{\lfloor n/7 \rfloor}\left( \frac{10}{11} \right)^{\lfloor n/11 \rfloor} \times \dots \ . $$ Здесь $ \operatorname{HOD} $ --- наибольший общий делитель, $ \phi $ --- функция Эйлера, $ … text/html 2025-12-15T18:46:20+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/algebra2/dets/jacobian?rev=1765813580&do=diff ОПРЕДЕЛИТЕЛЬЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Матрица Якоби и якобиан $ \partial^2 f(x,y) / (\partial x \partial y) \ne \partial^2 f(x,y) / (\partial y \partial x) $ Определение и основные свойства Матрицей Якоби системы из $ m_{} $ функций $ \{f_1(x_1,\dots,x_n),\dots,f_m(x_{1},\dots,x_n)\} $ по переменным $ x_{1},\dots,x_n $ называется матрица, составленная из всевозможных частных производных: $$ \mathbf J = \left[ \frac{\partial f_j}{\partial x_k} \right]_{j=1,\dots,m, \atop k=1,\dots,n} = \left( \… text/html 2022-11-18T14:39:15+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/algebra2/dets/minors?rev=1668771555&do=diff ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ---------- Миноры Основываясь на определении определителя $ n $-го порядка $$\det A=\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|=\sum (-1)^{\operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)}a_{1\alpha_1}a_{2\alpha_2} \times \dots \times a_{n\alpha_n},$$ выведем здесь правило сведéния его к вычислению определителей $ (n-1) $-го порядка. Теорема 1.Опреде… text/html 2026-05-01T13:25:32+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/algebra2/dets/problems?rev=1777631132&do=diff ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ Задачи . Пусть $ A=\left[ a_{ij}\right]_{i,j=1}^n $ --- вещественная симметричная матрица и $$ a_{ii}=1 , \ \sum_{i=1 \atop i \ne j}^n |a_{ij}| \le 1 \quad npu \quad \forall i \in \{1,\dots, n\} \ . $$ Доказать, что $ \det A \le 1 $. Рассматривается случайная квадратная матрица $ A_{n\times n} $ над $ \mathbb Z_2 $ (или $ \{0,1\} $-матрица). Какова вероятность того, что $ \det A\equiv 0 \pmod{2} $$ A=[a_{ij}]_{i,j=1}^n $$$ \frac{d\, \det A}{d\, A}= \det \left[\frac{\partial \… text/html 2022-11-15T20:44:58+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/algebra2/dets/prop?rev=1668534298&do=diff ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ Элементарные свойства определителя Формальное определение определителя: $$\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|=\sum (-1)^{\operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)}a_{1\alpha_1}a_{2\alpha_2} \times \dots \times a_{n\alpha_n},$$ где сумма распространяется на всевозможные перестановки $ (\alpha_{1},\alpha_2,\dots,\alpha_n) $ элементов $ \{… text/html 2026-02-01T21:39:43+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/algebra2/dets/special_cases?rev=1769971183&do=diff ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ Приемы вычисления определителей, зависящих от параметров Довольно часто на практике возникает необходимость вычислять определители, элементы которых зависят от параметров. $$ \left| \begin{array}{cccc} {\color{Red} \alpha } +1 &{\color{Red} \alpha } ^2+1 &{\color{Red} \alpha } ^2-1 & {\color{Red} \alpha } \\ {\color{Red} \alpha } ^2+{\color{Red} \alpha } +1 & {\color{Red} \alpha } ^2- {\color{Red} \alpha } +1 & {\color{Red} \alpha } ^2 & 1 \\ 2\,{\color{Red} \alpha } +1 &{\color{… text/html 2020-03-11T23:29:18+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/algebra2/dets/transp?rev=1583958558&do=diff Свойства перестановок ОПРЕДЕЛИТЕЛЬТеорема 1.Число всех перестановок из$ n $элементов равно$ n! $ Доказательство ЗДЕСЬ. Итак, формула из определения определителя $$\det A=\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|=\sum (-1)^{\operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)}a_{1\alpha_1}a_{2\alpha_2} \times \dots \times a_{n\alpha_n},$$ заключает в себе $ n! $$ + 1… text/html 2026-08-11T18:59:56+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/algebra2/dets/turnbull?rev=1786463996&do=diff ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ Градиенты функций от матрицы Градиент определителя Определитель является полиномом относительно элементов матрицы. Градиент этого полинома по элементам матрицы также естественно записать в матричном виде. $$ A:=\left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array} \right) \ \Rightarrow \ \det (A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} $$$$ \ \Rightarrow \ \frac{D\, \det(A)}{ D\, (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22})}=(a_{22},-a_{21},-a_{12},a_{11}) \ \iff \ \frac{D\, \det(A)}{ D\, A}…