http://vmath.ru/vf5/ 2026-10-13T03:44:07+0300 http://vmath.ru/vf5/ http://vmath.ru/vf5/lib/tpl/vf5/images/favicon.ico text/html 2020-11-08T23:59:52+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/algebra2/course/miscellania/bernum?rev=1604869192&do=diff Числа Бернулли определяются как коэффициенты разложения функции $$ u(x)=\frac{x}{e^x-1} $$ в ряд Тейлора при $ x=0 $. Поскольку $$ \lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=1 $$ то $ u(0)=1 $. Дифференцируем тождество $$ x\equiv ue^x-u $$ по $ x_{} $: $$ 1\equiv e^x \frac{d\, u}{d\, x} + u(x) e^x - \frac{d\, u}{d\, x} \, . $$ Дифференцируем еще раз: $$ 0\equiv e^{x} \frac{d^2 u}{d\, x^2}+2\, e^x \frac{d\, u}{d\, x} +u(x) e^x - \frac{d^2 u}{d\, x^2} \, . $$$ x=0_{} $$$ 0 = 2\, u^{\prime} (0) + u(0) \qua… text/html 2020-10-19T18:07:44+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/algebra2/course/miscellania/vspom1?rev=1603120064&do=diff Уравнение Эйлера Задача. Рассматривается уравнение относительно $ x_{} $: $$f(x)=x^5-3\,x^4+3\,x^3-m\,(1-x)^2=0 , $$ здесь $ m_{} \in \mathbb R $ --- параметр. Найти выражение для того вещественного корня $ x= \lambda(m) $ этого уравнения, для которого $ \lambda(0)=0 $$$ \mathcal D_x(f)=-m^2(108\,m^3-416\,m^2-2268\,m-6561) $$$ 2_{} $$ m=0 $$ m=m_{\ast} \approx 7.640811 $$ m< m_{\ast} $$ f_{}(x) $$ m=0 $$ 3_{} $$ m> m_{\ast} $$ 3_{} $$ m_{} $$$ \lambda(m) = \sqrt[3]{\frac{m}{3}}- \frac{1}{3}\sq…