VMath algebra2:charpoly

Хар. полином при возмущении матрицы

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-24T12:04:28+0300

Хар. полином при возмущении матрицы $ A\in \mathbb C^{n\times n} $, $$ f_{A}(\lambda):=\det (A-\lambda E) \equiv \lambda^n+a_1 \lambda^{n-1}+\dots+a_n. $$ Чему равен $ f_{A+B}(\lambda) $ если матрица $ B $ --- одноранговая $$ B:=U \cdot V^{\top}, \quad U^{\top}=(u_1,\dots,u_n), V^{\top}=(v_1,\dots,v_n) \, ? $$ Если $ \operatorname{adj}(A-\lambda E) $ означает матрицу, взаимную матрице $ A-\lambda E $, то $$ f_{A+B}(\lambda)\equiv f_{A}(\lambda)+V^{\top}\operatorname{adj}(A-\lambda E) U \equ…

Частичная проблема собственных чисел: случай симметричной матрицы

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-11-02T15:27:15+0300

«»"Частичная проблема собственных чисел""Симметричная матрица" Частичная проблема собственных чисел: случай симметричной матрицы Рассмотрим случай симметричной матрицы $ A\in \mathbb R^{n\times n} $. Пусть ее собственные числа (они вещественны) занумерованы в порядке убывания модулей: $$ |\lambda_1|>|\lambda_2|> \dots > |\lambda_n | $$$ \lambda_1 $$ \mathfrak X_1 $$ \lambda_2 $$ \lambda_2 $$ \mathfrak X_1 $$ X_0 $$ \mathbb R^n $$ \mathfrak X_1 $$ \widetilde X_0 \in \mathbb R^n $$ |\mathfrak X_…

algebra2:charpoly:gersch

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-03-24T11:44:11+0300

Гершгорин Семён Аронович (1901-1933) --- советский математик, выпускник Петроградского Технологического института. Биография $ \mathbb D_{j} $$ \mathbb C_{} $$ a_{jj}^{} $$$ r_j=\sum_{\ell=1 \atop \ell\ne j}^n \left|a_{j \ell}\right| \ .$$$ A_{} $$$ \{\lambda_1,\dots, \lambda_n \} \subset \bigcup_{j=1}^n \mathbb D_j \ . $$$$ |z- a_{jj} | < r_j \ . $$${\mathfrak X}=\left[{\mathfrak x}_1,\dots,{\mathfrak x}_n \right]^{^{\top}}$$A$$\lambda$$$ A{\mathfrak X}=\lambda{\mathfrak X}\, . $$$$\left|{\mat…

Теорема Таусски

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-03-11T14:00:33+0300

Теорема Таусски Теорема.Максимальное собственное число матрицы Гильберта$$ \left[1/(i+j) \right]_{i,j=1}^n $$стремится$ \pi_{} $при порядке этой матрицы стремящемся к$ \infty $$$ \lambda_{\max} = \pi \left( 1+ o(1/\log n) \right) \, . $$ Сходимость к $ \pi $$$ \begin{array}{c|cccc} n & 5 & 10 & 15 & 40 \\ \hline \lambda_{\max} & 1.05594 & 1.28766 & 1.41232 & 1.67696 \end{array} $$…

Теорема Гамильтона-Кэли

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-04-16T20:13:53+0300

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОЛИНОМ Теорема Гамильтона-Кэли В настоящем пункте $ A_{} $ означает квадратную матрицу порядка $ n_{} $ с элементами из $ \mathbb Q, \mathbb R $ или $ \mathbb C_{} $, а $ f(\lambda) $ --- характеристический полином этой матрицы, т.е. $$ f(\lambda)= \det (A-\lambda E) = a_0 \lambda^n +a_1 \lambda^{n-1}+\dots+a_{n-1}\lambda+ a_n \quad npu \quad a_0=(-1)^n \ . $$$ \det (A_{}-\lambda E) $$ A_{} $$$ \det (A-\lambda E)= (-1)^n \lambda^n +a_1 \lambda^{n-1}+\dots+a_{n-1}\lambda…

Задачи

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-03-10T00:02:33+0300

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОЛИНОМ, СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА, СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ Задачи Известен характеристический полином матрицы $ A_{} $: $$ \det(A-\lambda E)=(-1)^n \lambda^n+a_1 \lambda^{n-1}+\dots+a_n \ . $$ Найти характеристический полином матрицы $ A^{2} $. Доказать, что характеристический полином матрицы $ A_{} $$ \mathfrak r_{} $$$ \det(A-\lambda E)=(-1)^n \lambda^n +\dots+a_{\mathfrak r} \lambda^{n-\mathfrak r} \ , $$$ \lambda=0 $$ \ge n-\mathfrak r $$ A $$ \operatorname{adj}(A) $$ …

QR-алгоритм поиска всех собственных чисел матрицы

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-11-23T23:14:07+0300

"Характеристический полином, собственные числа, собственные векторы матрицы" QR-алгоритм поиска всех собственных чисел матрицы Этот алгоритм основан на QR-разложении матрицы $ A $. Теорема. Спектр матрицы$ A $совпадает со спектром матрицы$ P^{\top} A P $при произвольной ортогональной матрице$ P $$$ \det (P^{\top} A P-\lambda E)=\det (P^{\top} A P- \lambda P^{\top} E P)=\det P^{\top} (A -\lambda E ) P = \det (A -\lambda E ) P P^{\top} = \det (A -\lambda E ) \, . $$$ A $$$ A=Q_1R_1 \, , $$$ Q…

Вещественность собственных чисел симметричной матрицы

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-05-06T22:54:04+0300

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОЛИНОМ Вещественность собственных чисел симметричной матрицы Теорема.Собственные числа вещественной симметричной матрицы все вещественны Доказательство$ A $$ A= A^{^{\top}} $$ \lambda \in \mathbb C $$ {\mathfrak X} =(x_1,\dots,x_n)^{\top} \in \mathbb C^n \ ({\mathfrak X}\ne \mathbb O) $$ A{\mathfrak X}=\lambda {\mathfrak X} $$ \overline {\mathfrak X} $$ {\mathfrak X} $$ a=({\overline {\mathfrak X}})^{^{\top}} A {\mathfrak X}\in \mathbb C $$$a=({\overline{\mathfrak X}})^{^{\to…