VMath 2form

Закон инерции

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-12-08T18:46:52+0300

КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА Закон инерции Теорема [закон инерции]Индексы инерции не зависят от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду. Доказательство.$$ X^{\top}{\mathbf A}X=\left\{ \begin{array}{ll} \alpha_1y_1^2+\dots+\alpha_py_p^2- \alpha_{p+1}y_{p+1}^2-\dots-\alpha_{\mathfrak r}y_{\mathfrak r}^2 & npu \ Y=C_1X,\\ \beta_1z_1^2+\dots+\beta_qz_q^2- \beta_{q+1}z_{q+1}^2-\dots-\beta_{\mathfrak r}z_{\mathfrak r}^2 & npu \ Z=C_2X, \end{array} \right. \quad \det C_j \ne 0 \, . $$$ \{\alp…

Теорема Якоби

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-03-01T12:10:54+0300

КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ---------- Теорема Якоби Теорема (Якоби).Квадратичная форма$ f(X)=X^{\top}{\mathbf A}X $с симметричной матрицей$ {\mathbf A} $ранг которой равен$ \mathfrak r_{} $ а главные миноры$ \{\det \mathbf A_j \}_{j=1}^{\mathfrak r} $ отличны от нуля, приводится к следующему каноническому виду$$ \frac{z_1^2}{1 \cdot \det \mathbf A_1} +\frac{z_2^2}{\det \mathbf A_1 \cdot \det \mathbf A_2} +\frac{z_3^2}{\det \mathbf A_2 \cdot \det \mathbf A_3} +\dots+\frac{z_{\mathfrak r}^2}{\det \mathb…

Задачи

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-06-22T18:42:41+0300

КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ---------- Задачи Доказать справедливость равенства $$ (X+Y)^{\top} {\mathbf A} (X-Y) = X^{\top}{\mathbf A}X - Y^{\top}{\mathbf A}Y $$ при $ {\mathbf A}={\mathbf A}^{\top} $. Привести квадратичную форму $$ x_1^2+x_2^2+\dots+x_{n+1}^2-\frac{2}{n}\sum_{1\le j< k \le n+1} x_jx_k $$ к каноническому виду по методу Лагранжа. . Доказать, что для того чтобы квадратичная форма могла быть представлена в виде произведения двух линейных форм необходимо и достаточно, чтобы ее ранг н…

Знакоопределенность квадратичной формы

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-01-22T11:04:21+0300

КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ---------- Знакоопределенность квадратичной формы Теорема 1.Ненулевая квадратичная форма, представленная в $ f(X)=X^{\top}{\mathbf A}X $будет неотрицательной тогда и только тогда, когда ее $$ n_{-} ({\mathbf A})=0 \qquad \iff \qquad \qquad \sigma ( {\mathbf A})=\operatorname{rank} {\mathbf A} \ .$$$ \det {\mathbf A} \ne 0 $$ X=CY $$$ f(X)=\alpha_1y_1^2+\dots+\alpha_{\mathfrak r}y_{\mathfrak r}^2 \ , \ {\mathfrak r}=\operatorname{rank} f \, . $$$ Y=C^{-1}X $$ \widetilde C =…