http://vmath.ru/vf5/ 2026-10-13T02:07:14+0300 http://vmath.ru/vf5/ http://vmath.ru/vf5/lib/tpl/vf5/images/favicon.ico text/html 2026-06-16T20:37:58+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/2form?rev=1781631478&do=diff Квадратичная форма $ \mathbb A_{} $ означает одно из множеств: $ \mathbb Q_{} $ рациональных, или $ \mathbb R_{} $ вещественных, или $ \mathbb C_{} $ комплексных чисел. Определение Квадратичной формой над множеством$ \mathbb A_{} $$ \mathbb A_{} $$ x_1,\dots,x_{n} $$$ f(x_1,\dots,x_{n} )= \sum_{1\le j \le k \le n} f_{jk}x_jx_k= $$$$\begin{array}{llll} \displaystyle= f_{11}x_1^2&+f_{12}x_1x_2&+ \dots & +f_{1n}x_1x_n+ \\ &+f_{22}x_2^2 &+ \dots & +f_{2n}x_2x_n+ \\ … text/html 2026-02-10T17:45:18+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/algebra2?rev=1770734718&do=diff Матрица Определение, обозначения Матрица -- прямоугольная таблица $$ A= \left(\begin{array}{llll} 3 & -7 & \dots & \sqrt{\pi} \\ &&& \\ C_n^1 & 101.(66) & \dots & \frac{5}{7} \\ \dots & & & \dots \\ \aleph_0 & 0 & \dots & e \end{array}\right) , $$ в каждой ячейке которой располагается некоторое число (или, в общем случае, элемент из некоторого множества $ \, A_{},B,\dots, {\mathfrak A},{\mathfrak B},\dots $$ a_{},b,\dots,{\mathfrak a},{\mathfrak b},\dots $$ ( \quad )_{} $$ [ \quad ]_{} $$ … text/html 2026-02-10T14:12:21+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/algorithms?rev=1770721941&do=diff Конструктивная алгебра: алгоритмические основы обработки информации Комментарии для потенциальных слушателей Мое личное мнение: курс с таким названием и соответствующим ему содержанием должен быть естественным окончанием$ \mathfrak{Jedem} $$ \mathfrak{das} $$ \mathfrak{ Seine} $$ \operatorname{HOD} $$ \operatorname{HOD} $$ A^B \pmod{M} $$ x^n \equiv B \pmod{M} $$ \mathbb Q_{} $$ \operatorname{HOD} $$ \mathbf{GF}(2) $$ x^{2^{n}} - x $$ \mathbf{GF}(2^n) $$ \operatorname{HOD}(A,B) $$ \phi(A) $… text/html 2020-06-18T20:31:58+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/algorithms_e?rev=1592501518&do=diff РУССКАЯ ВЕРСИЯ Constructive Algebra: Algorithms for Information Processing Faculty of Applied Mathematics & Control Processes, St.Petersburg State University Lecturer: Prof. Alexei Uteshev The course is supported by <http://www.digdes.com/> Overview Shannon information theory. Entropy, information, redundancy. Data compression. Prefix-free coding: Huffman and Shannon-Fano. LZW-algorithm. Error correcting coding.$ A^B \pmod{M} $$ M_{} $$ x^n \equiv B \pmod{M} $$ \mathbb Q_{} $$ \mathbf{G… text/html 2023-05-17T09:51:21+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/applied_vs_pure?rev=1684306281&do=diff О математике прикладной и чистой Писатель Д. И. Фонвизин (1745–1792): Правдин спрашивает Митрофанушку: — Что ты знаешь из грамматики? — Существительно да прилагательно. — Скажи: text/html 2020-03-11T14:00:05+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/babel?rev=1583924405&do=diff Вавилон 日本語 中文 Русский English Español Français Italiano Português العربية فارسی 한국어 עברית ไทย తెలుగు ქართული Ελληνικά Српски Українська text/html 2020-03-11T14:00:05+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/basics?rev=1583924405&do=diff Основы Метод математической индукции ЗДЕСЬ Элементы комбинаторики ЗДЕСЬ Бином Ньютона ЗДЕСЬ Теория вероятностей ЗДЕСЬ Формула включений-исключений text/html 2026-01-05T15:10:02+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/binomial?rev=1767615002&do=diff Бином Ньютона Бином Задача. Для произвольных вещественных чисел $ a,b_{} $ и натурального $ n_{} $ выписать разложение выражения $ (a+b)^{n} $ по степеням $ a_{} $ и $ b_{} $. Из школьного курса алгебры известны эти разложения для малых $ n_{} $$$ \begin{array}{lccccccccc} (a+b)= & &&& a&+&b \, , \\ (a+b)^2= & & &a^2 &+&2ab &+&b^2 \, , \\ (a+b)^3= & &a^3 &+&3a^2b &+& 3ab^2 &+& b^3 \, , \\ (a+b)^4= &a^4 &+& 4a^3b &+&6a^2b^2 &+&4ab^3 &+& b^4 \, . \end{array} $$$$ C_n^m = \frac{n!}{m!\… text/html 2023-07-15T17:13:40+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/biogr?rev=1689430420&do=diff Исторические заметки Биографические очерки Виет Виет Франсуа (Viète François, 1540-1603) О жизни В. известно немного. Получил юридическое образование, в 19 лет начал адвокатскую практику в своем родном городе Фонтене-ле-Конт. Параллельно стал заниматься математикой и астрономией, пытался улучшить систему Птолемея. В 1571 г. перебрался в Париж, где пережил Варфоломеевскую ночь. Его близкий друг и учитель де ла Раме был убит.$$ \begin{array}{ccl} y^{45} &-& 45\,y^{43} + 945\,y^{41} - 12\,300… text/html 2020-03-11T22:31:48+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/cipher?rev=1583955108&do=diff Алгоритмы компьютерной алгебры и криптографии Материалы к курсу (читался с 2000 по 2012 гг., с сентября 2012 г. включен в состав курса Конструктивная алгебра) Шифровки text/html 2026-08-18T23:05:19+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/codes?rev=1787083519&do=diff Кодирование Принципиальная схема цифровой системы связи изображена на рисунке Эта же схема подходит и для описания системы хранения информации $ a_1,a_2,\dots $$ k_{} $$$ (a_1,\dots,a_k),\ (a_{k+1},\dots,a_{2k}),\dots $$$$ \mathfrak C(a_1,\dots,a_k)=(b_1,\dots,b_n), \mathfrak C(a_{k+1},\dots,a_{2k})=(b_{n+1},\dots,b_{2n}),\dots $$$ \mathfrak C $$ (b_1,\dots,b_n), (b_{n+1},\dots,b_{2n}), \dots $$ n\ge k $$ \mathfrak C ( $$ )=0 $$ \mathfrak C ( $$ )=1 $$ \mathfrak C ( $$ )=2 $$ \mathfrak C (… text/html 2025-05-13T21:04:26+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/complex_num?rev=1747159466&do=diff Комплексные числа Алгебра --- это наука о решении уравнений. Но в каких числах? Если принимать в рассмотрение только множество натуральных чисел $ \mathbb N_{} $, то уравнение $ 5+x=3 $ решений не имеет. Дополнив множество $ \mathbb N_{} $$ \mathbb Z_{} $$ a+x=b $$ 2\cdot x=3 $$ \mathbb Z_{} $$ \mathbb Q_{} $$ a\cdot x=b $$ a_{}\ne 0 $$ x^2-2=0 $$ \mathbb Q_{} $$ \mathbb R_{} $$ x^2+1=0 $$ x^2+1=0 $$ {\mathfrak a}_1+{\mathfrak a}_2={\mathfrak a}_2+{\mathfrak a}_1 $$ {\mathfrak a}_1\cdot {\mat… text/html 2020-03-11T22:33:04+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/computation?rev=1583955184&do=diff Курс "Теория конечных автоматов и формальных грамматик". Задачи. Регулярные языки * Построить детерминированный конечный автомат, эквивалентный приведенному недетерминированному конечному автомату с $ \varepsilon $$ \varepsilon $$ a $$ b $$ c $$ p $$ \{q,r\} $$ \emptyset $$ \{q\} $$ \{r\} $$ q $$ \emptyset $$ \{p\} $$ \{r\} $$ \{p,q\} $$ r $$ \emptyset $$ \emptyset $$ \emptyset $$ \emptyset $$ \{ 0^n 1^n \, | \, n \ge 1 \} $$ \{ 0^n 1^m \, | \, n \ge m \} $$$ \begin{array}{rcl} S & \ri… text/html 2025-01-02T20:07:13+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/content?rev=1735837633&do=diff Список ключевых разделов (в алфавитном порядке) БЧХ-код Дискриминант Дробно-рациональная функция Евклидово пространство Жорданова нормальная форма Задача Ферма-Торричелли и ее развитие Интерполяция Квадратичная форма Код Хэмминга Кодирование Комплексные числа Криптография Линейное отображение Линейное пространство Линейный оператор Локализация корней полинома; решение системы алгебраических неравенств (одной переменной) Матрица Модулярная арифметика (сравнения) Начала теории … text/html 2025-08-30T11:37:16+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/crypto?rev=1756543036&do=diff МОДУЛЯРНАЯ АРИФМЕТИКА Криптография Как сохранить информацию в тайне? Как передать информацию адресату в тайне от других? Этим проблемам информационной безопасности$ \sigma \tau \varepsilon \gamma \alpha \nu o \sigma $$ \gamma \rho \acute \alpha \varphi \omega $$ \gamma \rho \acute \alpha \varphi \omega $$ x_{} $$ c_{} $$ \downarrow $$ \downarrow $$ \downarrow $$ \downarrow $$ \downarrow $$ \downarrow $$ \downarrow $$ \downarrow $$$x \mapsto c=x+3 \pmod{33} \ , $$$ x_{} $$ 3_{} $$$x \mapsto… text/html 2023-05-25T17:37:20+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/doclad_1222?rev=1685025440&do=diff Лекция 02.12.2022 1. «Интересно послушать про практическое применение знаний из высшей математики в современном web программировании, разработке сайтов и корпоративных приложений.$$ 75698^{67324} \pmod{1828},\quad \phi(645),\quad 675\, x\equiv 456 \pmod{775} $$ text/html 2025-09-18T08:53:53+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/doklad17_11?rev=1758174833&do=diff Алгебра Локализация корней полинома ЗДЕСЬ Исключение переменных в системах нелинейных уравнений $$ f_1(x_1,\dots,x_n)=0,\dots, f_n(x_1,\dots,x_n)=0 \ , $$ Теория исключения. Цель: сведение задачи к одномерному случаю. Именно, с помощью элементарных преобразований систему $$ {\mathcal X}(x_1)=0,\, x_2-\theta_2 (x_1)=0, \dots, x_n-\theta_n (x_1)=0 \ . $$$ {\mathcal X}(x_1) $$ \theta_2 (x_1),\dots,\theta_n (x_1) $$ x_1 $$$ f_1(x_1,\dots,x_n)=0,\dots, f_n(x_1,\dots,x_n)=0 $$$$ g_1(x_1,\dots,x_… text/html 2020-03-11T14:00:00+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/doklad_0409?rev=1583924400&do=diff ОПЫТ СОЗДАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСА Алексей Юрьевич Утешев С.-Петербургский государственный университет Доклад на Второй Всероссийской научно-практической конференции «Инновации и информационные технологии в образовании» (Липецк). Текст опубликован в книге… text/html 2020-03-11T22:34:27+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/doklad_0609?rev=1583955267&do=diff ОБРАЗОВАНИЕ: КОМУ НУЖНО КАЧЕСТВО? А.Ю.Утешев Выступление на депутатских слушаниях законодательного собрания С.-Петербурга "Проблемы образования в Санкт-Петербурге в период экономического кризиса" 2 июня 2009 г. text/html 2020-03-11T22:34:39+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/doklad_1209?rev=1583955279&do=diff Математический интернет ресурс: мысли разработчиков Д.В.Абрамов, А.Ю.Утешев Доклад на IV международной научно-практической конференции text/html 2024-02-09T16:52:47+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/elimination_theory?rev=1707486767&do=diff Теория исключения ПОЛИНОМ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХРЕЗУЛЬТАНТ--------- Постановка задачи Теория исключения: так называется раздел классической высшей алгебры, посвященный решению систем уравнений $$ f_1(x_1,\dots,x_n)=0,\dots, f_n(x_1,\dots,x_n)=0 \ , $$$ f_1,\dots,f_n $$ x_1,\dots,x_n $$$ {\mathcal X}(x_1)=0,\, x_2-\theta_2 (x_1)=0, \dots, x_n-\theta_n (x_1)=0 \ . $$$ {\mathcal X}(x_1) $$ \theta_2 (x_1),\dots,\theta_n (x_1) $$ x_1 $$ {\mathcal X}(x_1) $$ \{{\color{RubineRed} c }_{jk} \} $$$\left\{… text/html 2026-04-01T19:03:35+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/euclid_space?rev=1775059415&do=diff ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО Евклидово пространство Одной из важнейших задач геометрии является задача измерения расстояния между двумя объектами. В произвольном $ \mbox{} \qquad $$ \to $$ X_{} $$ Y_{} $$ \langle X,Y \rangle = |X| \cdot |Y| \cdot \cos (\widehat{X,Y}) $$ \mathbb R^{3} $$ \langle X,Y \rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 $$ (x_1,x_2,x_3) $$ (y_1,y_2,y_3) $$ X_{} $$ Y_{} $$$ |X|=\sqrt{ \langle X,X \rangle},\qquad \widehat{X,Y}=\arccos \frac{ \langle X,Y \rangle}{\sqrt{\langle X,X \rangle \l… text/html 2022-11-01T17:32:47+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/fraction?rev=1667313167&do=diff ПОЛИНОМ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Рациональные дроби Будем обозначать через $ \mathbb A_{} $ какое-либо из множеств $ \mathbb Q, \mathbb R_{} $ или $ \mathbb C_{} $. Определения Рациональной дробью или дробно-рациональной функцией$ \mathbb A_{} $$$\frac{g(x)}{f(x)} \ npu \ \{f(x),g(x) \}\subset \mathbb A[x],\ f(x)\not\equiv 0 \ . $$$ g_{}(x)/f(x) $$ g_{}(x) $$ f_{}(x) $$ g_1(x)/ f_1(x) $$ g_2(x)/f_2(x) $$ f_1(x)g_2(x)-f_2(x)g_1(x) \equiv 0 $$$ \frac{g_1(x)}{f_1(x)}\equiv \frac{g_2(x)}{f_2(x)} … text/html 2025-07-08T14:31:45+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/grid25?rev=1751974305&do=diff vmath.ru/vf5/grid25 <https://vmath.ru/vf5/grid25> ---------- Data Storage Redundancy: the Two Matrix Toolkits for Failed Device Reconstruction Alexei Yu. Uteshev, Elizaveta Kalinina St. Petersburg State University Abstract The network storage systems are treated, organized into several groups of devices with data redundancy capability. We consider two schemes for managing data reconstruction process, namely the declustered Redundant Array of Independent Disks (RAID) technique and, more … text/html 2026-03-18T11:24:40+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/gruppe?rev=1773822280&do=diff Некоторые алгебраические структуры Существует два подхода к изложению основ теории групп в учебном курсе высшей алгебры. Первый --- чисто формальный, $ \mathbb S $$$ \mathbb S=\{{\mathfrak A},\, {\mathfrak B},\, \dots, {\mathfrak a},\, {\mathfrak b},\, \dots \} \ .$$$ \mathbb S $$ {\mathfrak a} $$ {\mathfrak b} $$ \mathbb S $$ \mathfrak c $$$ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b} = {\mathfrak c} \ .$$$ \mathbb S=\mathbb Z $$ \mathbb S=\mathbb Q_{+} $$ \mathbb S $$ \mathbb Z_{} $$ \mathbb S_1 $$ \… text/html 2025-09-25T10:29:16+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/hash?rev=1758785356&do=diff Хеширование Хеш-функция или просто хеш --- генератор псевдослучайных значений. Hash functions are by definition and implementation generally regarded as Pseudo Random Number Generators (PRNG). From this generalization it can be assumed that the performance of hash functions and comparisons between other hash functions can be determined by modelling the functions as PRNGs. text/html 2020-09-18T09:16:47+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/incl_excl?rev=1600409807&do=diff Формула включений-исключений Задача. Пусть даны подмножества $ A_1,A_2,\dots,A_{\mathfrak r} $ (необязательно различные) некоторого конечного множества. Найти мощность (число элементов) их объединения $$ \operatorname{Card}(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_{\mathfrak r}) \ . $$$$ \operatorname{Card}(A_1) + \operatorname{Card}(A_2) + \dots + \operatorname{Card}( A_{\mathfrak r}) \ , $$$ A_{j} \cap A_k \ne \varnothing $$$ \operatorname{Card}(A_1) + \operatorname{Card}(A_2) + \dots + \operatornam… text/html 2026-06-08T22:06:31+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/interpolation?rev=1780945591&do=diff ПОЛИНОМ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Интерполяция Интерполяция или интерполирование --- приближенное или точное нахождение какой-либо величины по известным отдельным значениям этой же величины, или других величин, с ней связанных.$ f(1) $$ f(2) $$ f(1.5) $$ f(1) $$ f(2) $$ f(2.5) $$ f(0.5) $$ y_{}=f(x) $$$ \begin{array}{c|ccccc} x & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline y & y_1 & y_2 &\dots & y_n \end{array} $$$ \{ x_{j}, y_{j} \}_{j=1}^n $$ \mathbb Q_{} $$ \mathbb R_{} $$ \mathbb C_{} $$ \{ x_{j} \}_{j=1… text/html 2026-10-01T10:00:07+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/linalg?rev=1790838007&do=diff Дополнительные главы линейной алгебры Факультативный курс (исключительно для добровольцев, без ограничений года обучения и образовательной программы). Ориентировочно: осенний семестр 2026 г., 1 раз в неделю, продолжительность text/html 2026-04-10T18:34:32+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/linear_space?rev=1775835272&do=diff Благодарю Ю.А.Смолькина за обнаружение 07.08.19 ошибки на настоящей странице и информирование о ней. Линейное пространство Определения $ \mathbb V_{}=\left\{ X,Y,Z,U,\dots \right\} $$ X+Y_{} $$ \alpha_{} $$ \alpha \cdot X_{} $$ \mathbb V_{} $$ X+Y \in \mathbb V ,\ \alpha \cdot X \in \mathbb V_{} $$ X+Y=Y+X_{} $$ \{ X,\, Y\} \subset \mathbb V_{} $$ (X+Y)+Z_{}=X+(Y+Z) $$ \{ X,\, Y,\, Z \} \subset \mathbb V_{} $$ \mathbb V_{} $$ \mathbb O_{} $$ X+ \mathbb O =X_{} $$ \forall X\in \mathbb V_{… text/html 2026-04-16T09:08:41+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/mapping?rev=1776319721&do=diff ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО Линейное отображение Линейным отображением линейного векторного пространства $ \mathbb V_{} $ с операцией сложения векторов, обозначаемой $ +_{} $, в линейное векторное пространство $ \mathbb W_{} $$ \boxplus_{} $$$ \mathcal A:\ \mathbb V \longmapsto \mathbb W $$$ \mathbb V_{} $$ \mathbb W_{} $$$ \mathcal A (X_1 +X_2)= \mathcal A(X_1) \boxplus \mathcal A(X_2),\quad \mathcal A (\alpha_1 X_1)= \alpha_1 \mathcal A (X_1), $$$$ \mathcal A(\alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2)= \al… text/html 2026-04-13T10:52:55+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/markov_chain?rev=1776066775&do=diff Цепи Маркова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА Матрица переходных вероятностей Пусть имеется некоторая физическая система, которая по своей природе ведет себя случайным образом: в каждый момент времени находится в одном из $n$$S_1,\dots,S_n$$t_0$$p_{01},\dots,p_{0n}$$$ t_1< t_2< \dots $$$S_j$$S_k$$. Это число $$$ p_{j1}+\dots+p_{jn}=1 \quad \mbox{при} \ j\in\{1,\dots,n\} \, . $$$$ \begin{array}{c} \\ S_1 \\ S_2 \\ \vdots \\ S_n \end{array} \begin{array}{c} \begin{array}{cccc} S_… text/html 2020-03-11T22:36:47+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/matricese?rev=1583955407&do=diff MATRICES Definitions & Notation Polynomial optimization text/html 2026-06-23T17:08:41+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/mmcp26?rev=1782223721&do=diff Критические расстояния в некоторых задачах матричной робастности Алексей Утешев, Елизавета Калинина, Марина Гончарова С.-Петербургский государственный университет$A\in \mathbb R^{n \times n} $$$d(A,\mbox{вырожденность}) \, .$$$$d(A,\mbox{дефектность}) \, .$$$$d(A,\mbox{неустойчивость по Ляпунову}) \, . $$$1 $$$d(A,\mbox{неустойчивость по Шуру}) \, .$$$d(A,B)$$$\| A \|:= \sqrt{\sum_{j,k} a_{jk}^2} \ .$$$A$$B_{\ast}$$E_{\ast}=B_{\ast}-A$$A$$$ d(A,\mbox{вырожденность})=\sqrt{\lambda_{\min}} $$$… text/html 2026-09-07T00:10:33+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/mmcp_en?rev=1788729033&do=diff Critical distances in some matrix robustness problems Alexei Yu. Uteshev, Elizabeth A. Kalinina, Marina V. Goncharova St. Petersburg State University Abstract Several matrix nearness problems are treated in the Frobenius normed space of real matrices. These are, distance computation from a given square matrix to the manifold containing either matrices with pure imaginary eigenvalues (stability radius problem), or matrices with eigenvalues in the unit circle in the complex plane (robust Sc… text/html 2025-09-23T12:59:15+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/modular?rev=1758621555&do=diff НАЧАЛА ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Модулярная арифметика В ПУНКТЕ обсуждается вопрос делимости нацело данного числа $ A_{} $ на некоторое другое число $ M_{} $. Используемый подход заключается не в непосредственном выполнении деления $ A_{} $$ M_{} $$ A_{1} $$ A_{} $$ A_{} $$ M_{} $$ A_{1} $$ M_{} $$ A_{} $$ M_{} $$$ A=\underline{{\mathfrak a}_1{\mathfrak a}_2 \dots {\mathfrak a}_s {\mathfrak a}_{s+1}} $$$ 11_{} $$ 11_{} $$$ {\mathfrak a}_{s+1}-{\mathfrak a}_s +{\mathfrak a}_{s-1}+\dots+ (-1)^{s-1}… text/html 2024-05-14T09:53:08+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/norm_space?rev=1715669588&do=diff ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО Нормированное пространство Определения Пусть в линейном пространстве $ \mathbb V_{} $ определена функция, которая ставит в соответствие каждому вектору $ X \subset \mathbb V $$ X_{} $$ \| X \| $$ \| X \|= 0 $$ X=\mathbb O $$ \| X + Y \| \le \|X \| + \|Y \| $$ \forall \{ X, Y \} \subset \mathbb V $$ \| \alpha \, X \|=|\alpha |\cdot \| X \| $$ \forall X \in \mathbb V $$ \forall \alpha \in \mathbb R $$ \forall \alpha \in \mathbb C $$ \mathbb V $$$ \| X \| \ge 0 \quad… text/html 2023-08-17T12:35:22+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/novozhilov?rev=1692264922&do=diff Новожилов Валентин Валентинович Валентин Валентинович, третий сын в семье статского советника Валентина Александровича Новожилова и его жены Марии Николаевны, родился 18 мая 1910 года в городе Люблин. Он получил первоклассное образование вначале в петербургской text/html 2025-10-07T10:21:58+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/numtheory?rev=1759821718&do=diff Начала теории целых чисел Делимость с остатком Прежде чем излагать новый материал, необходимо договориться о терминологии. Понятие остатка от деления положительного целого числа $ B_{} $$ A_{} $$ (-5)_{} $$ 3_{} $$$5=1\cdot 3 + 2 \ \Rightarrow \ -5=-1\cdot 3 - 2 \ ,$$$ (-5)_{} $$ 3_{} $$ (-2) $$$5=1\cdot 3 + 2 \ \Rightarrow \ -5=-2\cdot 3 +1 \ ,$$$ (-5)_{} $$ 3_{} $$ 1_{} $$ B_{} $$ A>0 $$$ B=Aq+r\, , \quad \mbox{при} \ \{q,r\} \subset \mathbb Z \quad \mbox{и} \quad 0\le r<A \ . $$$ q = \lfl… text/html 2025-11-14T09:10:54+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/polynomial?rev=1763100654&do=diff Полином одной переменной ЗДЕСЬ Будем обозначать через $ \mathbb A_{} $ какое-либо из множеств $ \mathbb Z,\mathbb Q, \mathbb R_{} $ или $ \mathbb C_{} $. Общая информация Функция вида $$ f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n = \sum_{j=0}^n a_jx^{n-j} $$ при $ n_{} \in \{0,1,\dots \} $ и $ \{a_{0},\dots,a_n\}\subset \mathbb A $ относительно переменной $ x_{} $$ \pi o \lambda \acute \upsilon $$ \nu o \mu \acute o \varsigma $$ \mathbb A_{} $$ a_{j} $$ (n-j)_{} $$ a_{j}x^{n-j} $$ a_{n} $$ x_{… text/html 2025-11-19T09:15:31+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/polynomialm?rev=1763532931&do=diff ПОЛИНОМ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Полином нескольких переменных Будем обозначать через $ \mathbb A_{} $ какое-либо из множеств $ \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R_{} $ или $ \mathbb C_{} $. Общая информация Функция от переменных $ x_{1},x_2,\dots,x_{\ell} $ называется $$ x_1^{k_1}x_2^{k_2} \times \dots \times x_{\ell}^{k_{\ell}} = \prod_{j=1}^{\ell} x_j^{k_j} \ , $$$ k_{1},k_2,\dots,k_{\ell} $$ k_{j} $$ x_{j} $$$ \deg_{ x_j} \left( x_1^{k_1}x_2^{k_2} \times \dots \times x_{\ell}^{k_{\ell}} \right… text/html 2020-03-11T13:59:53+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/presentation?rev=1583924393&do=diff ~~SLIDESHOW~~ Презентации Технические презентации No MS PowerPoint S PowerPoint ---------- Этот текст не виден на слайде, но выводится при печати на принтер. Удобно для комментариев, дабы вспомнить о чем здесь говорится.$$ \sqrt{2} = 1.4142\ldots $$ text/html 2020-03-11T13:59:53+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/presentation_1008a?rev=1583924393&do=diff ~~SLIDESHOW~~ Виртуальный факультет <http://pmpu.ru/vf4> Почему я им занимаюсь? ---------- Лекция от 24.10.2008 г. (с последующими правками и дополнениями). Аннотация: text/html 2026-01-05T14:20:28+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/probability?rev=1767612028&do=diff Теория вероятностей Вспомогательный раздел. Пока здесь выложены основы теории на полуинтуитивном уровне. Случайное событие, случайная величина $ 1,2,3,4,5,6 $$ A,B,S $$ \Pr$$ \Pr(A), \Pr(B), \Pr(S), \dots $$ 36 $$ 9_{} $$ 36 $$$ P_{} (\mbox{ появление карты бубновой масти }) = \frac{9}{36}= \frac{1}{4} . $$$ n_{} $$ S_1,S_2,\dots, S_n $$$ \begin{array}{l|l|l|l} S_1 & S_2 & \dots & S_n \\ \hline \Pr_1 & \Pr_2 & \dots & \Pr_n \end{array} \quad \mbox{ при этом } \quad \Pr_1+\Pr_2+\dots+\Pr_n=1 … text/html 2025-12-12T09:07:32+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/recurr?rev=1765519652&do=diff Разностное уравнение и рекуррентная последовательность Будем обозначать через $ \mathbb A_{} $ какое-либо из множеств $ \mathbb Z,\mathbb Q, \mathbb R_{} $ или $ \mathbb C_{} $. Линейное уравнение Пусть заданы числа $ n \in \mathbb N $$ \{ a_1,\dots, a_n \} \subset \mathbb A $$$ x_{n+K}=a_1 x_{n+K-1}+ \dots+ a_n x_K \ npu \ K \in \{0,1,2,\dots \} \ u \ a_n \ne 0 $$$ n_{} $$ \mathbb A_{} $$ x_0,\dots,x_{n-1} $$ \mathbf n $$ K=0 $$ x_{n+K} $$ n_{} $$ x_{K+1}=qx_{K} $$ x_{0} $$$ x_{K+2}=x_{… text/html 2023-05-13T22:52:25+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/references?rev=1684007545&do=diff Литература Здесь указываются источники, на которые я часто ссылаюсь. Краткие (пристрастные) характеристики, интернет-ссылки. Безу Bézout É.$ \ne $$ \mathfrak{h} $$ \mathfrak{here\ Algebra} $ text/html 2025-09-18T14:22:05+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/s1809?rev=1758194525&do=diff <https://vmath.ru/vf5/s1809> On certain applications of computational algebra Alexei Yu. Uteshev St. Petersburg State University Theoretical backgrounds Systems of algebraic equations: analytical approach System of polynomial equations $$ f_1(x_1,\dots,x_n)=0,\dots, f_n(x_1,\dots,x_n)=0 \ , $$ Elimination theory: reduction to the univariate case. Equivalent system in the form $$ {\mathcal X}(x_1)=0,\, x_2-\theta_2 (x_1)=0, \dots, x_n-\theta_n (x_1)=0 \ . $$$ {\mathcal X}(x_1) $$ \theta_2… text/html 2023-01-05T12:32:59+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/schoolmath?rev=1672911179&do=diff "Школьная" математика Математические разделы в учебных курсах дореволюционных гимназий Выделил разделы, которые исключены из современных школьных программ; разделы входили в курс школьной математики еще, по крайней мере, в 1938 г.$ 45 $$ 56 $$ 2040 $$ 75 $$ 70 $$ 9_{} $$ 7263 $$ 5_{} $$ 85461_{} $$ 9_{} $$ 13025 $$ 25_{} $$ 1237 $$ 10_{} $$ 28003_{} $$ 100_{} $$ \displaystyle \frac{23}{75}=\frac{2323}{7575}=\frac{232323}{757575}=\dots $$ n_{} $$ 0,1,3,5,7 $$ 73 $$ 111 $$ 157 $$ 111 $$ 65793 … text/html 2025-11-27T23:43:39+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/sdc2025?rev=1764276219&do=diff Silent Data Corruption (SDC) Пусть в нашем распоряжении имеется программная реализация RAID-6. Поле поля Галуа $ \mathbf{GF}(2^n) $. Обозначим $ \mathfrak{A} $ --- произвольный примитивный элемент поля $ \mathbf{GF}(2^n) $, т.е. все степени $$ \mathfrak{A}^0, \mathfrak{A}^1, \mathfrak{A}^2,\dots, \mathfrak{A}^{2^n-2} $$ различными и среди них нет нулевого его элемента $ \mathfrak o $$ N_{} $$$ D_0,D_1,\dots,D_{N-1} $$$$ \begin{array}{rcrrrr} P&=&D_0+&D_1+&\dots+& D_{N-1}, \\ Q&=&\mathfrak… text/html 2025-06-24T23:09:32+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/shannon?rev=1750795772&do=diff ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Статус документа: черновик. Теория информации по Шеннону Энтропия Пусть случайное событие заключается в осуществлении одного из несовместимых состояний $ S_{1},\dots,S_n $, вероятности появления которых даются таблицей $$ \begin{array}{l|l|l|l} S_1 & S_2 & \dots & S_n \\ \hline P_1 & P_2 & \dots & P_n \end{array} \quad \mbox{ при } \quad P_1+P_2+\dots+P_n=1. $$$ n_{} $$ f(n) $$ n_{}=1 $$ f(1)=0 $$ n_{} $$ A_{} $$ B_{} $$ A_{} $$ k_{} $$ B_{} $$ \ell_{} $$ A_{} $$ B_… text/html 2020-06-06T21:39:09+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/signal?rev=1591468749&do=diff «» Теория сигналов Сигналы В наиболее общей формулировке, сигнал --- это зависимость одной физической величины от другой. Это может быть зависимость напряжения от времени, звука от времени, цвета от координат точки на изображении: $ s(t) $$ s_0,s_1,s_2,\dots,s_k $$ \dots, s_{-k},s_{-k+1},\dots,s_0,s_1,s_2,\dots $$$ s(nT)=s_{n} \ . $$$ T_{} $$ 1/T $$ s_n $$ n $$ s[n] $$ \{s_n\} $$ \{s[n]\} $$ n_{} $$ \mathbb Z_{} $$ \{x[n]\} $$ \{y[n]\} $$$ \{y[n]\}= \mathcal A \{x[n]\} \ . $$$ \{x[n]\} \map… text/html 2024-08-05T18:50:57+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/start?rev=1722873057&do=diff Интерактивная информационно-консультационная среда Цель проекта В 2004 году все началось с идеи: модернизировать классические формы преподавания естественнонаучных дисциплин на основе современных информационно-компьютерных технологий. text/html 2020-03-11T13:59:50+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/startold?rev=1583924390&do=diff Интерактивная информационно-консультационная среда ИНТЕРАКТИВНАЯ --- взаимодействующая с пользователем и облегчающая взаимодействие между пользователями.$$ {\mathcal D}(f)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_0} \prod_{j=1}^n \sqrt{ \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ \lambda_j & \mu_j & \kappa_j \\ {\mathfrak W}_j & {\mathfrak X}_j & {\mathfrak Y}_j \end{array} \right|} \ npu \ \nabla \tilde a_0 \in {\mathbb R} \oplus \aleph \ . $$… text/html 2026-08-28T09:18:39+0300 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://vmath.ru/vf5/subject_index?rev=1787897919&do=diff Предметный указатель Крупные (ключевые) разделы выделены А * Абелева группа * Адамара * матрица и гипотеза * код * неравенство * произведение матриц * Алгебра * в смысле множества (структуры) $ A^B \pmod{M} $$ A^{B} \pmod M $$ \mathbb R^n $$ \mathbb C^n $$ 11, 37 $$ 7_{} $$ n!_{} $$ A^{-1} \pmod M $$ \nabla $$ (n!)^2>n^n $$ \mathbb R^n $$ \mathbb R^n $$ \mathbb R^n $$ \mathbb R^m $$ \mathbb R^{n} $$ 11, 37 $$ 7_{} $$ \mathbb R^n $$ \mathbb C^n $$ \mathbb R^{n} $$ \…