Основное
Пример 1.
$$ \begin{array}{lcl} f_1&=&x_1^2+x_1x_2+x_2^2-2x_1x_3-4 x_2x_3+3 x_3^2-3 x_1x_4 +2 x_2x_4+x_4^2 \\ &&-3 x_1-2 x_2+3 x_3-2 x_4-2=0,\\ f_2&=&2 x_1^2-x_1x_2+x_2^2-x_1x_3-x_2x_3-6 x_3^2 -x_1x_4+x_2x_4 -5x_3x_4-3 x_4^2 \\ &&-5 x_1+x_2+5 x_3+2 x_4+5=0,\\ f_3&=&x_1^3-x_1^2x_3+x_1x_2x_3+x_1x_2x_4-5 x_1x_3^2+x_1x_4^2 +x_2^3-5 x_2^2x_3+7 x_2x_3^2-3 x_3^3 \\ && - 5 x_3^2x_4+2 x_4^3+x_1^2-x_2^2+2 x_3^2-3 x_4^2 -3 x_1x_2+2 x_1x_3-3 x_1x_4-2 x_3x_4 \\ && -x_1+x_2+11 x_3-2 x_4-3=0,\\ %\noalign{\vskip6pt} f_4&=&-x_1^3+6 x_1^2x_2-x_1^2 x_3-12 x_1x_2^2-4 x_1x_2x_3 +6 x_1x_2x_4+5 x_1x_3^2-x_1x_3x_4\\ &&+11 x_1x_4^2 +6 x_2^3+6 x_2^2x_3+4 x_2x_3^2-7 x_2^2x_4+15 x_3^3+4 x_4^3 +3 x_1^2+2 x_1x_2 \\ &&+2 x_2^2+2 x_2x_4-x_3^2-x_3x_4+5 x_4^2 -35 x_1-14 x_2+4 x_3-10 x_4-15=0. \end{array} $$
Пример 2. $$ \begin{array}{lcl} f_1 &:=& y^2 z+2 x y u-2 x-z,\\ f_2 &:=& 2 y z u+x u^2-x-2 z=0,\\ f_3 &:=& -x^3 z+4 x y^2 z+4 x^2 y u+2 y^3 u-10 y^2+4 x z-10 y u+4 x^2+2=0,\\ g &:=& -x z^3+4 y z^2 u+4 x z u^2+2 y u^3+4 x z+4 z^2-10 y u-10 u^2+2=0 \end{array} $$
Пример 3. $$ f(x,z):=a_0x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5-z \, . $$ Факторизовать над $ \mathbb Z $ $$ \mathcal D_z (\mathcal D_x (f(x,z)) \, . $$ Здесь $ \mathcal D $ — дискриминант полинома, рассматриваемого относительно той переменной, что указана в индексе.
Пример 4. Тестовый на Безу
$$ \left\{ \begin{array}{lll} f_1 &=& x^2+xy+y^2-2xz-4yz+3z^2+x+2y-z-2 =0, \\ f_2 &=& 2x^2-xy+y^2-xz-yz-6z^2+2x-y+z+2=0, \\ g &=& x^2-2xy-y^2-2xz+2yz+3z^2+2x+3y-3z-1=0. \end{array} \right. $$
f_1:= x^2+x*y+y^2-2*x*z-4*y*z+3*z^2+x+2*y-z-2:
f_2:=2*x^2-x*y+y^2-x*z-y*z-6*z^2+2*x-y+z+2:
g:=x^2-2*x*y-y^2-2*x*z+2*y*z+3*z^2+2*x+3*y-3*z-1:
Решения:
$$ \mathcal Z(z)=2\, \left( z-1 \right) \left( 434907\,{z}^{6}-143439\,{z}^{5}-343139 \,{z}^{4}+215070\,{z}^{3}+12765\,{z}^{2}-34161\,z-5753 \right) $$
x=1,y=0,z=1
x=-2.42809038462986729888163348203,y=-.157024522749860717430814238191954,z=-.9442891131866586640410416274236
x=-.218863661189551634742290546322265+0.655571927909370811521901652*I,
y=0.675650180708070715923794450-0.336385254040129932298526714091706766617*I
z=-0.2149861984653007249349379812339278429-0.0547891171005989858816611607695464*I