Инструменты сайта


Многозначные комплексные функции

!

Материал настоящего раздела очень сложен и может быть пропущен при первом чтении.

На примере решения задачи об извлечении корня из комплексного числа $ z $ мы столкнулись с проблемой неоднозначности ответа: формальное определение числа $ w $ из соотношения $ w^n = z $ приводит к $ n $ значениям. Эта проблема проявляется и в вещественном случае: корень квадратный из числа $ 4 $ имеет два вещественных значения. Если мы договоримся в качестве $ \sqrt{x} $ понимать единственное неотрицательное значение корня из неотрицательного аргумента, то таким образом определенная функция становится функцией в классическом понимании: каждому значению аргумента $ x\ge 0 $ соответствует единственное значение арифметического квадратного корня. Эта функция оказывается непрерывной при $ x \in [0,+\infty [ $. Из этого свойства, в частности, следует, что при произвольном непрерывном изменении аргумента $ x $ со стартовой точкой в $ x=4 $, при возвращении в эту точку значение функции остается равным $ 2 $.

Попробуем избавиться от многозначности функции $ \sqrt{z} $ в комплексной плоскости. Будем считать корень квадратный с использованием тригонометрической формы комплексного числа $ z= \rho ( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi ) $ по формуле $$ \sqrt{z} = \sqrt{\rho} \left(\cos \frac{\varphi}{n} + \mathbf i \sin \frac{\varphi}{n}\right) \, . $$ Таким образом $ \sqrt{1}=1 $. По аналогии с вещественным случаем, можно ожидать, что при непрерывном изменении $ z $ значения функции будут меняться непрерывно, т.е. в окрестности $ z = 1 $ значения $ \sqrt{z} $ должны оставаться близкими к $ 1 $.

§

В этом месте следовало бы ввести строгое определение непрерывности функции комплексной переменной, но я просто ссылаюсь на непрерывность функций $ \sqrt{ \cdot }, \cos, \sin $ как функций вещественных аргументов.

Продолжаю. Можно ожидать, что если изменять $ z $ в комплексной плоскости $ \mathbb C $ по любой непрерывной и замкнутой кривой, проходящей через $ z=1 $, то при возвращении в точку $ z=1 $ мы получим исходное значение функции $ \sqrt{z}=1 $. И это ожидание подтверждается примерами, иллюстрируемыми рисунками

Но не подтверждается примером окружности $ |z|=1 $:

при однократном обходе которой значение $ \sqrt{z} $ меняется с $ +1 $ на $ -1 $.

Вопросы, порождаемые этим примером:

1. Почему это произошло? В чем заключается принципиальное отличие последнего рисунка от предыдущих?

2. Что с этим делать? Как обеспечить непрерывность функции $ \sqrt{z} $?

complex_num/riemann.txt · Последние изменения: 2020/03/11 14:00 (внешнее изменение)