Теорема. Максимальное собственное число матрицы Гильберта $$ \left[1/(i+j) \right]_{i,j=1}^n $$ стремится к $ \pi_{} $ при порядке этой матрицы стремящемся к $ \infty $: $$ \lambda_{\max} = \pi \left( 1+ o(1/\log n) \right) \, . $$

Сходимость к $ \pi $ крайне медленная. $$ \begin{array}{c|cccc} n & 5 & 10 & 15 & 40 \\ \hline \lambda_{\max} & 1.05594 & 1.28766 & 1.41232 & 1.67696 \end{array} $$