== Глава 1. Комплексные числа и действия над ними ==

В XVI-XVII вв. выражения вида $a+b\sqrt{-1}$, $b\neq0$, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть <<мнимыми>>.

По-видимому, впервые мнимые величины появились в известном труде <<Великое искусство, или о правилах алгебры>> Кардано Дж.(1545), который счел их бесполезными, непригодными к употреблению. Для многих крупных ученых (Ньютон И., Лейбниц Г.) алгебраическая  и геометрическая  сущность мнимых величин представлялась неясной и даже загадочной и мистической.

Символ $\mathbf i=\sqrt{-1}$ предложил Леонард Эйлер (1794). Гаусс К. ввел в употребление термин <<комплексное число>> в 1831 году. Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе датчанина Каспара Весселя (1799).

<note> Не надо путать символ $\mathbf i=\sqrt{-1}$ и результат
извлечения квадратного корня из $-1$. Позже мы выясним, что $\sqrt{-1}=\pm \mathbf i$.</note>

Например, при решении  уравнения $x^2-2x+5=0$, дискриминант которого отрицателен, получаем корни $x=1\pm2\mathbf i$, являющиеся комплексными числами.
 
=== Алгебраическая форма комплексного числа ===

Рассмотрим множество упорядоченных пар $z=(x,y)$ действительных чисел $x$, $y$. На этом множестве введем операции, превращающие его в поле. Обозначим это поле $\mathbb{C}$  и назовем **полем (множеством) комплексных чисел**.

Операции введем следующим образом: 

cумма
$$z_1+z_2=(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2, y_1+y_2),$$

произведение
$$
z_1z_2=(x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_1x_2 - y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1),
$$
элемент $(0,0)$ --- нейтральный по сложению,

элемент $(1,0)$ --- нейтральный по умножению.

Особую роль играет комплексное число $(0,1)$, которое обозначают $\mathbf i$ и называют **мнимой единицей**.

Согласно введенным операциям
$$
\mathbf i^2=(0,1)(0,1)=-1, \qquad \mathbf i(y,0)=(0,1)(y,0)=(0,y).
$$
 
Каждую упорядоченную пару вида $(x,0)$ можно отождествить с действительным числом $x$. 
Каждую упорядоченную пару $(x,y)$ можно представить в виде

$$
z=(x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+\mathbf i y.
$$

Таким образом для комплексного числа  $z=(x,y)$ получаем другую форму записи $z=x+\mathbf i y$.

Выражение $z=x+\mathbf i y$ называют **алгебраической формой** комплексного числа, $x$ называется **вещественной частью** числа $z$ и обозначается $\mathfrak{Re}(z)$ или $\mathfrak{Re}\,z$ ($\mathfrak{Re}$ - начальные буквы латинского слова //realis// - вещественный), $y$ называется **мнимой частью** $z$ и обозначается $\mathfrak{Im}(z)$ или $\mathfrak{Im}\,z$ ($\mathfrak{Im}$ - начальные буквы латинского слова //imaginarius// - мнимый).

Например, $\mathfrak{Re}(1-2\mathbf i)=1$, $\mathfrak{Im}(1-2\mathbf i)=-2$. Если $y=\mathfrak{Im}\,z=0$, то $z=x$ является вещественным числом, а если $\mathfrak{Re}\,z=x=0$ и $y\ne0$, то $z=\mathbf i y$ является чисто мнимым числом.

Два комплексных числа $z_1$ и $z_2$ равны тогда и только
тогда, когда $\mathfrak{Re} z_1=\mathfrak{Re} z_2$ и $\mathfrak{Im} z_1=\mathfrak{Im} z_2$ одновременно.


**Сопряженным** с комплексным числом $z=x+\mathbf i y$ называют
комплексное число вида $x-\mathbf i y$, его обозначают $\overline{z}=x-\mathbf i y$. 

**Свойства сопряжения**
\begin{equation*}
 \overline{\bar{z}}=z, \quad \overline{z_1z_2}=\bar{z}_1\bar{z}_2, \quad \overline{\frac{z_1}{z_2}}=\frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2}.
\end{equation*}


Комплексное число $-x-\mathbf i y=-z$ называется **противоположным**
комплексному числу $z=x+\mathbf i y$.
Их сумма равна так называемому нулевому комплексному числу $x+\mathbf i y+(-x-\mathbf i y)=0+\mathbf i 0$.  
 

 __Действия__ над комплексными числами, записанными в алгебраической форме $\alpha=a+b\mathbf i $, $\beta=c+d\mathbf i $, выражаются следующими формулами: \\

для __сложения__ и __вычитания__ 
$$
z_1\pm z_2=(x_1+\mathbf i y_1)\pm(x_2+\mathbf i y_2 )=(x_1\pm x_2)+\mathbf i (y_1\pm y_2) ,
$$ 

для __умножения__ (учитывая, что $\mathbf i ^2=-1$) 
$$
z_1z_2=(x_1+\mathbf i y_1)(x_2+\mathbf i y_2 )=x_1x_2 +\mathbf i x_1y_2 + \mathbf i x_2y_1 +\mathbf i ^2 y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+\mathbf i (x_1y_2+x_2y_1) ,
$$ 

для __деления__ (учитывая, что $z\bar z=x^2+y^2\in R$)
$$
\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\overline{ z_2}}{z_2\overline{z_2}}=
\frac{(x_1+\mathbf i y_1)(x_2-\mathbf i y_2 )}{x_2^2+y_2^2}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+
\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\,\mathbf i .
$$

 
<note> Множество всех комплексных чисел с арифметическими операциями образует поле комплексных чисел. Его обычно
обозначают символом $\mathbb C_{} $ (от лат. complex — тесно связанный).

Множество вещественных чисел $\mathbb R_{} $ является подмножеством множества комплексных чисел $\mathbb{C}$, то есть $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$.
</note>

!! П !!
**Пример.**
\begin{equation*}
\begin{split}
&z_1=-3+4\mathbf i , \,\, z_2=5-\mathbf i .\\
&z_1+z_2=2+3\mathbf i ,\,\, z_1-z_2=-8+5\mathbf i , \,\, z_1z_2=-11+23\mathbf i ,\\
&\overline{z}_2=5+\mathbf i , \,\, z_2\overline{z_2} =26, \,\, \frac{z_1}{z_2}=-\frac{19}{26}+\frac{17}{26}\mathbf i .
\end{split}
\end{equation*}


 
=== Геометрическая интерпретация комплексных чисел === 

{{:users:nvr:pic1_1.png?180 |}} 
В 1799 году датчанин Каспар Вессель определил комплексное число как упорядоченную пару вещественных чисел $(x,y)$. Известно, что на декартовой
плоскости упорядоченной паре соответствует точка. Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и установим взаимно однозначное
соответствие между комплексными числами и точками плоскости, при котором комплексному числу $z=x+\mathbf i y$ отвечает точка $M$ с координатами
$x,y$. Точку $M$ мы рассматриваем как изображение комплексного числа $z=x+\mathbf i y$.

При этом множество всех вещественных чисел изображается осью абсцисс, называемой поэтому **вещественной осью**, множество всех чисто мнимых
чисел лежит на оси ординат, называемой **мнимой осью**. Плоскость $XOY$, точки которой изображают комплексные числа, называется **комплексной плоскостью** (иногда гауссовой плоскостью) или просто плоскостью $z$. Термины <<комплексное число $z$>> и <<точка $z$ на комплексной плоскости>> употребляются как синонимы.

Комплексное число $z=x+\mathbf i y$ может также изображаться вектором с проекциями $x$ и $y$ на координатные оси, который, таким образом, равен
радиус-вектору точки $z$. Иногда термины <<комплексное число>> и <<вектор>> употребляют также как синонимы.

Именно поэтому, глядя на координатную плоскость,
естественно сделать вывод, что комплексные числа //невозможно сравнивать//, т.е. нельзя говорить, что какое-то комплексное число больше или меньше другого. 

Комплексное число равное сумме или разности двух комплексных чисел $z_1\pm z_2$ соответствует вектору на комплексной плоскости, который получится при сложении/вычитании векторов, соответствующих числам  $z_1$ и $z_2$. Для произведения $z_1\cdot z_2$ этой аналогии уже не будет.

Напомним, что в полярных координатах точка $M$ имеет координаты $(r,\varphi)$. В нашем случае полярные координаты имеют следующий смысл:\\
  * полярный радиус (или длина вектора) называется **модулем** комплексного числа $z=x+\mathbf i y$ и вычисляется по формуле 
$$
r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\bar z}, 
$$ 
  * полярный угол $\varphi$ (угол между положительным направлением оси $OX$ и отрезком $OM$) называется **аргументом** комплексного числа $z$ и обозначается $\varphi=\mbox{Arg }z$. 

Модуль и аргумент - две важнейшие характеристики комплексного числа.

Условия равенства двух комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ - равенство их модулей: $|z_1|=|z_2|$ и аргументов: $\mbox{Arg }z_1=\mbox{Arg }z_2$.


==== Особый разговор об аргументе ==== 

Угол $\varphi=\mbox{Arg }z$ - аргумент комплексного числа $z=x+\mathbf i y$. Этот угол, изменяясь от положительного направления оси $OX$ против часовой
стрелки, увеличивается до $2\pi$, а далее его величины повторяются. Поэтому аргумент комплексного числа бесконечнозначен, так как все его
значения отличаются друг от друга на слагаемые, кратные $2\pi$.

Аргумент $\varphi$ определяется из формул
\begin{equation} 
\left\{\begin{array}{l}
x=r\cos\varphi, \\ 
y=r\sin\varphi
\end{array}\right. 
\end{equation} 
с точностью до слагаемого $2\pi k$: $$
\mbox{Arg }z=\mbox{arg }z+2\pi k,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots\ .
$$

Из множества значений аргумента особо выделяется главное значение $\mbox{arg }z$, удовлетворяющее неравенству $-\pi<\mbox{arg } z\le\pi$. При этом полезны
формулы
\begin{equation} 
\arg z=\left\{\begin{array}{ll}
\mbox{arctg }\dfrac{y}{x},&x>0, \\
\mbox{arctg }\dfrac{y}{x}+\pi,&x<0,\ y\ge0, \\
\mbox{arctg }\dfrac{y}{x}-\pi,&x<0,\ y<0.\\
\end{array}\right.
\end{equation}

<note> Для комплексного числа $z=0+\mathbf i 0$ понятие аргумента не
имеет смысла.</note>
 
Условие сопряжения двух чисел $z$ и $\bar{z}$: 
$$|z|=|\bar{z}|,\quad \arg z=-\arg \bar{z}.$$

Некоторые свойства модуля:
$$
\left| z_1 + z_2 \right| \le \left| z_1\right| + \left| z_2\right| \ ,
$$
$$
 \left| z_1 + z_2 \right| \ge \big| | z_1 |  - | z_2 | \big| \ ,
$$
$$
\left| z_1 - z_2 \right| \ge \big| | z_1 |  - | z_2 | \big|.
$$

=== Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел ===

Кроме алгебраической формы $z=x+\mathbf i y$ часто используют другие  формы. Применяя формулы для вычисления $x$, $y$ через $r$, $\varphi$, находим 
$$
z=r\cos\varphi+\mathbf i r\sin\varphi\quad\hbox{или}\quad z=r(\cos\varphi+ \mathbf i \sin\varphi), 
$$ 
что является **тригонометрической формой** записи комплексного числа. 
Воспользовавшись формулой Эйлера $e^{\mathbf i \varphi}=\cos\varphi+ i\sin\varphi$, получим 
$$ z=re^{\mathbf i \varphi} $$ 
**показательную форму** комплексного числа.

Напомним, что **модуль** комплексного числа $z=x+\mathbf i y$ вычисляется по формуле $r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\bar z}$, **аргумент** $\varphi$ комплексного числа $z$ обозначается $\varphi=\mbox{Arg }z=\arg z+2\pi k$, ($k = 0,\pm1,\pm2,\ldots$). Главное его значение $\arg z$ (угол между положительным направлением оси $OX$ и вектором числа $z=x+iy$) удовлетворяет неравенству $-\pi<\arg z\le\pi$.

!!П!!
**Пример.** Представить комплексное число
$$ z=1-\sin\alpha+\mathbf i \cos\alpha,\quad 0<\alpha<\frac\pi2 $$ в тригонометрической форме.

Р е ш е н и е. По определению: $$ z=|z|\big(\cos(\arg z)+\mathbf i \sin(\arg z)\big). $$ Модуль равен $$
|z|=\sqrt{(1-\sin\alpha)^2+\cos^2\alpha}=\sqrt{2(1-\sin\alpha)}, $$ а аргумент $$
\arg z=\mbox{arctg }\frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha}=\mbox{arctg }\frac{\cos
\dfrac\alpha2+\sin\dfrac\alpha2}{\cos\dfrac\alpha2-\sin\dfrac\alpha2}
= $$ $$ =\mbox{arctg }\frac{\mbox{tg}\dfrac\pi4+\mbox{tg}\dfrac\alpha2}{1-\mbox{tg}\dfrac\pi4\mbox{tg}
\dfrac\alpha2}=\frac\pi4+\frac\alpha2.
$$

О т в е т: $z=\sqrt{2(1-\sin\alpha)}\bigg(\cos\left(\dfrac\pi4 +\dfrac\alpha2\right)+\mathbf i \sin\left(\dfrac\pi4+\dfrac\alpha2\right)
\bigg)$. 

=== Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической или показательной формах ===

Пусть даны два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме 
$$
\begin{array}{l}
z_1=r_1(\cos\varphi_1+\mathbf i \sin\varphi_1), \\  
z_2=r_2(\cos\varphi_2+\mathbf i \sin\varphi_2).
\end{array}
$$ Выведем формулу для произведения: $$ z_1z_2=r_1r_2\big(\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin
\varphi_2+\mathbf i (\sin\varphi_1\cos\varphi_2+
$$ $$ +\cos\varphi_1\sin\varphi_2)\big) = r_1r_2\big(\cos(\varphi_1+
\varphi_2)+\mathbf i \sin(\varphi_1+\varphi_2)\big).
$$ Для деления получим следующую формулу $(z_2\ne0)$: $$
\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)}{r_2(\cos
\varphi_2+i\sin\varphi_2)}=\frac{r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)
(\cos\varphi_2-i\sin\varphi_2)}{r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2) (\cos\varphi_2-i\sin\varphi_2)} = $$ $$
=\frac{r_1}{r_2}\big(\cos\varphi_1\cos\varphi_2+\sin\varphi_1
\sin\varphi_2+\mathbf i (\sin\varphi_1\cos\varphi_2-\cos\varphi_1
\sin\varphi_2)\big)=
$$ $$ =\frac{r_1}{r_2}\big(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+ \mathbf i \sin(\varphi_1-\varphi_2)\big). $$

Умножение, деление удобнее производить в показательной форме. Пусть $z_1=r_1e^{\mathbf i \varphi_1}$, $z_2=r_2e^{\mathbf i\varphi_2}$, тогда произведение и
частное (считая $z_2\neq 0$) равны: $$ z_1z_2=r_1r_2\,e^{\mathbf i (\varphi_1+\varphi_2)},\quad
\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\,e^{\mathbf i (\varphi_1-\varphi_2)}.
$$

=== Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа ===

Возведение в натуральную степень равносильно умножению числа самого на себя $n$ раз: $$ z^n=z\cdot z\cdot\ldots\cdot z. $$

Формула для степени комплексного числа в показательной и тригонометрической формах: $$ z^n=(x+\mathbf i y)^n=\big(r(\cos\varphi+\mathbf i \sin\varphi)\big)^n=
\left(re^{\mathbf i \varphi}\right)^n=
$$ $$ =r^ne^{\mathbf i n\varphi}=r^n(\cos n\varphi+\mathbf i \sin n\varphi). $$ Отсюда получим формулу Муавра (1667-1754):
\begin{equation}\label{eq g1 p5 1}
(\cos\varphi+\mathbf i \sin\varphi)^n=\cos n\varphi+\mathbf i \sin n\varphi.
\end{equation}

<note> В качестве $\varphi$ можно брать как $\mbox{Arg }z$, так и
$\arg z$, так как $$ e^{\mathbf i\mbox{Arg }z}=e^{\mathbf i \arg z+2\pi k\mathbf i}=e^{\mathbf i \arg z}e^{2\pi k\mathbf i}=e^{\mathbf i \arg z}, $$ ибо по формуле Эйлера $e^{2\pi k \mathbf i}=1$.</note>

!! П !! 
**Пример.** С помощью формулы Муавра  выразить
$\cos3\varphi$ и $\sin3\varphi$ через $\cos\varphi$ и $\sin\varphi$.
 
О т в е т: 
$\cos3\varphi=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi, \,\, \sin3\varphi=-4\sin^3\varphi+3\sin\varphi$.

Число $w$ называется **корнем натуральной степени** из числа
$z\ne0$, если
\begin{equation}\label{g1 p5 2}
w^n=z.
\end{equation}
Обозначается $w=\sqrt[n]{z}$, для $n=2$ имеем $w=\sqrt{z}$. 
 

Вывод формулы для вычисления $\sqrt[n]z$. Пусть $$
\begin{array}{l}
z=r(\cos\varphi+\mathbf i \sin\varphi),\\ 
w=\rho(\cos\theta+i\sin\theta).
\end{array}
$$ 
Тогда
$$
\begin{array}{c}
w^n=\rho^n(\cos n\theta+\mathbf i \sin n\theta)= \\ 
=r(\cos\varphi+\mathbf i \sin\varphi).
\end{array}
$$
Приравнивая вещественные составляющие левой и правой частей, находим
$\rho^n=r$, а затем и $n\theta = \varphi+2\pi m=\arg z+2\pi k$. Получаем
$$
\begin{array}{l}
\rho=\sqrt[n]{r}, \\
\theta=\dfrac1n\mbox{Arg }z=\dfrac1n\big(\arg z+2\pi k\big).
\end{array}
$$
Корень $n$-й степени из комплексного числа имеет $n$ различных
значений при $k=0,1,\ldots,n-1$: 
$$ 
w_k=\sqrt[n]{r(\cos\varphi+\mathbf i \sin\varphi)}=\!\sqrt[n]{r}\left(\cos
\frac{\arg z+2\pi k}n+\mathbf i \sin\frac{\arg z+2\pi k}n\right).
$$ 

Геометрически эти $n$ значений корня изображаются вершинами правильного $n$-угольника с полярными координатами 
$$\Big(\sqrt[n]r, \dfrac1n(\arg z+2\pi k)\Big).$$ 

!! П !! 
**Пример.** Найдем по формулам $\sqrt[4]1=\{1;\mathbf i ;-1;-\mathbf i \}$. Эти точки
находятся в вершинах квадрата.
{{:users:nvr:pic1_2.png?200 |}}

=== Расширенная комплексная плоскость. Сфера Римана ===

Из геометрии известно, что любой упорядоченной паре вещественных чисел соответствует точка $z$ на плоскости комплексного переменного. Определим
на комплексной плоскости  **бесконечно удаленную** точку. Так условно будем называть <<мысленную точку>> $(x,y)$, координаты которой (обе сразу
или одна из них) - величины неограниченные, т.е. комплексные числа имеют формальный вид $z=x+i\infty$, $z=\infty+iy$ либо $z=\infty+i\infty$.
Тогда пишут $z=\infty$ (**несобственное** комплексное число), считая ее единственной бесконечно удаленной точкой.

Для несобственного комплексного числа понятия вещественной и мнимой части, а также понятие аргумента не вводятся; точнее говоря, объявляются
лишенными смысла (напомним, что понятие аргумента не имеет смысла и для числа 0). Что касается модуля числа $z=\infty$, то для него используется
символ $|\infty|=+\infty$.

Договорились, что имеют смысл следующие операции, в которых участвуют $z=\infty$ и собственное комплексное число $a$: $$
\frac{a}\infty=0,\quad\frac\infty{a}=\infty,\quad\frac{a}0=\infty.
$$ Такие операции, как $$
\infty\pm\infty,\quad 0\cdot\infty,\quad \dfrac00,\quad
\dfrac\infty\infty
$$ объявляются лишенными смысла.

Совокупность точек комплексной плоскости и бесконечно  удаленной точки называется **расширенной плоскостью комплексного переменного**.

Наглядное представление о расширенной комплексной плоскости дает следующая интерпретация Римана (1826-1866).

Чтобы получить геометрическое изображение числа $\infty$, прибегают к представлению комплексных чисел точками сферы. Построим сферу (называемую **сферой Римана**) радиуса $r$, касающуюся плоскости $z$ в точке $z=0$ и отметим точку $N$ сферы, диаметрально противоположную началу
координат $O$. 

{{:users:nvr:pic1_5.png?400 |}} 

Из точки $N(0,0,2r)$ сферы проведем проведем луч в любую точку $Z(x,y,0)$ плоскости $(x,y)$ и отметим точку $S$ пересечения данного луча и
сферы. Эта точка $S(\xi,\eta,\zeta)$ является новым геометрическим представлением комплексного числа $z$. В результате таких
построений лучей между точками плоскости $(x,y)$ и точками сферы устанавливается взаимно однозначное соответствие, называемое **стереографической
проекцией**, имеющей применение в картографии.

Точкам меридиана $NSO$ на сфере соответствуют точки луча $OZ$ на плоскости $(x,y)$, различным параллелям - круги на плоскости $(x,y)$.
Исключение составляет точка $N$. Северному полюсу $N$ сферы не соответствует пока никакое комплексное число. Однако точкам сферы, достаточно
близким к $N$, соответствуют точки $z$ плоскости, сколь угодно далеко отстоящие от начала координат, т.е. точка $z$ сколь угодно большого
модуля. Будем считать, что  точке $N$ соответствует единственная точка $z=\infty$.

Покажем, что точка $z=\infty+\mathbf i \infty$ (или $z=x+\mathbf i \infty$, или $z=\infty+\mathbf i y$) будет при таком преобразовании переходить в точку $N(0,0,2r)$ и
наоборот. Координаты точек на такой сфере $(\xi,\eta,\zeta)$ связаны формулой
\begin{equation}\label{eq g1 p7 1}
\xi^2+\eta^2+(\zeta-r)^2=r^2\quad\hbox{или}\quad \xi^2+\eta^2=\zeta
(2r-\zeta).
\end{equation}

Из коллинеарности $NZ$ и $NS$ можно получить представление луча $NSZ$ 
$$
\frac{\xi-0}{x-0}=\frac{\eta-0}{y-0}=\frac{\zeta-2r}{0-2r}.
$$ 
Отсюда можно получить координаты точек плоскости через координаты точек сферы:
\begin{equation}\label{eq g1 p7 2}
x=\frac{2r\xi}{2r-\zeta},\quad y=\frac{2r\eta}{2r-\zeta}.
\end{equation}

Составим 
$$ x^2+y^2=\frac{4r^2(\xi^2+\eta^2)}{(2r-\zeta)^2}, $$ 
$$ x^2+y^2 = \frac{4r^2\zeta}{2r-\zeta}. $$ 
Тогда
можно выразить координату 
$$
\zeta=\frac{2r(x^2+y^2)}{x^2+y^2+4r^2},
$$ 
и другие координаты 
$$
\xi=\frac{4r^2x}{x^2+y^2+4r^2},\quad\eta=\frac{4r^2y}{x^2+y^2+4r^2}.
$$

Устремим $x\to\infty$, $y\to\infty$ (по отдельности или вместе), тогда $\xi\to0$, $\eta\to0$, $\zeta\to2r$, а это и есть точка $N$.


<note>
Некоторые сведения о комплексных числах подробнее изложены в курсе Высшей алгебры А.Ю. Утешева ( ((:complex_num здесь))).
</note>