== Резонанс ==
Рассмотрим одномерную динамическую систему, поведение которой во времени $ t_{} $ подчиняется второму закону Ньютона
$$ m\cdot a(t)= F(x(t), v(t), t)\ , $$
где, например, в случае описания поведения механического объекта, $ a_{} $ может означать его ускорение, а $ F_{} $ --- действующую на него силу; последняя, в общем случае, может зависеть как от координаты $ x_{} $ объекта так и от его скорости $ v_{} $. Для простоты будем считать $ m_{} = 1_{} $. С точки зрения теории дифференциальных уравнений, поведение системы описывается дифференциальным уравнением второго порядка:
$$
\frac{ d\,^2 x }{d\, t^2}=F \left(x(t), \frac{ d\, x(t) }{d\, t}, t \right) \ ,
$$
которому еще "придаются" либо **начальные условия**:
$$ x(t_0)=x_0, v(t_0)=\frac{ d\, x(t) }{d\, t}\bigg|_{t=t_0}=v_0 $$
(известны положение тела и его скорость в момент времени $ t_0 $), либо **граничные условия**:
$$ x(t_0)=x_0, x(t_1) = x_1 \quad npu \quad t_0 \ne t_1 \ . $$
Доказывается, что для подавляющего большинства встречающихся на практике функций $ F_{} $ (например, для ((:polynomialm полиномов)) ) дифференциальное уравнение имеет решение: существует бесконечное множество функций $ x(t) $, при подстановке каждой из которых в уравнение последнее обращается в тождество по $ t_{} $; в этом бесконечном множестве можно выбрать функции, удовлетворяющие либо заданным начальным условиям, либо заданным граничным условиям; наконец, гарантируется единственность выбранных решений, удовлетворяющих этим условиям.
!!П!! **Пример.** Уравнение
$$
\frac{ d\,^2 x }{d\, t^2}=-\omega_0^2 x(t)
$$
при постоянной вещественной величине $ \omega_0 \ne 0 $ описывает поведение большого количества механических систем[[Например, колебания маятника или тела на упругой пружине.]]. Множество решений этого уравнения имеет вид
$$ x(t)=A\cos (\omega_0 t)+ B \sin (\omega_0 t) $$
при произвольных постоянных $ \{A,B\} \subset \mathbb R $. При любом выборе начальных данных существует решение уравнения, оно будет периодическим по $ t_{} $ с периодом $ 2\pi/\omega_0 $. Например,
$$
\begin{matrix}
npu \ x(0)=1, d\, x / d\, t |_{t=0}=0: \quad & & x(t)= \cos (\omega_0 t) ; \\
npu \ x(0)=0, d\, x / d\, t |_{t=0}=1: \quad & & x(t)= 1/\omega_0 \sin (\omega_0 t) ; \\
npu \ x(0)=0, d\, x / d\, t |_{t=0}=0: \quad & & x(t)\equiv 0 .
\end{matrix}
$$
В случае механической системы, о получившихся решениях говорят как о **свободных колебаниях** --- их амплитуда и частота остаются неизменными с течением времени[[Понятно, что такое возможно только в идеальном случае, т.е. при отсутствии потерь энергии на трение воздуха, нагревания пружины и т.п.]].
♦
Теперь рассмотрим более сложный пример.
!!П!! **Пример.** Уравнение
$$
\frac{ d\,^2 x }{d\, t^2}=-\omega_0^2 x(t) + \sin(\omega_1 t)
$$
при постоянных $ \{\omega_0,\omega_1\} \in \mathbb R, \omega_0 \ne 0 $, описывает поведение объекта, на которого оказывается воздействие; это воздействие --- периодическое и __ограниченное__ по величине. Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям $ x(0)=1, d\, x / d\, t |_{t=0}=0 $, имеет вид:
$$
x(t)=\frac{1}{\omega_0(\omega_0^2-\omega_1^2)}\left(\omega_0\sin(\omega_1\,t)-\omega_1\sin(\omega_0\,t) \right)+\cos(\omega_0\,t) \ .
$$
При $ \omega_1\ne \pm \omega_0 $ это решение остается ограниченным по $ t_{} $, хотя периодичность его уже не гарантируется --- ниже приведены графики решений для случая $ \omega_0 =1 $ и при выборе $ \omega_1 =\sqrt{2} $, а также $ \omega_1 = 2/5 $:
{{ signal:speech:oscill1.gif |}}
{{ signal:speech:oscill2.gif |}}
Колебания описываются уже двумя частотами --- наряду с $ \omega_0 $ возникает еще и частота $ \omega_1 $ возбуждающей силы.
Приведенная формула решения позволяет заметить, что, хотя амплитуда колебаний и остается ограниченной, но при при сближении этих двух частот $ \omega_0 $ и $ \omega_1 $, амплитуда становится все большей. Что происходит при совпадении частот? Формулу для решения приходится заменять на
$$
x(t)=\frac{1}{2\omega_0^2}\left(\sin(\omega_0 t)- \omega_0\, t \cos (\omega_0\, t) \right) + \cos (\omega_0 \, t)\ .
$$
И это решение перестает быть ограниченным по $ t_{} $:
{{ signal:speech:oscill3.gif |}}
Аналогичное поведение будет наблюдаться даже в случае, когда изначально система находилась в покое ---
при $ x(0)=0, d\, x / d\, t |_{t=0}=0 $ решение имеет вид:
$$
x(t)= \frac{1}{2\omega_0^2}\left(\sin(\omega_0\, t)-\omega_0 t \cos(\omega_0\,t)\right) \ ;
$$
характер поведения его графика идентичен предыдущему.
♦
Это явление --- возникновение в системе колебаний неограниченной амплитуды при воздействии на нее силы ограниченной по величине --- называется **резонансом**. Практическая значимость этого явления очевидна:
подвергая изначально неподвижное тело, закрепленное на пружине, периодическим воздействиям --- определенной частоты $ \omega_1 $ хотя и сколь угодно малой фиксированной амплитуды --- мы вынудим колебаться тело с такой амплитудой, которая разорвет пружину[[А порывы ветра смогут разрушить мост.]].
В случаях более сложных систем --- с несколькими степенями свободы --- уравнения движения записываются c помощью систем уравнений второго порядка, например в виде
$$
\left\{
\begin{array}{ccc}
d\,^2 x_1 / d\, t^2 &=& a_{11}x_1+a_{12}x_2 \ , \\
d\,^2 x_2 / d\, t^2 &=& a_{21}x_1+a_{22}x_2 \ ;
\end{array}
\right.
$$
или же, в общем случае, в матричной форме записи:
$$
\frac{ d^2\, X}{ d\, t^2}=A\, X
$$
при заданной матрице
$$
A=
\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\vdots & & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{array}
\right)
$$
и столбце переменных
$$
X=
\left(\begin{array}{c}
x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n
\end{array}
\right) \ .
$$
При матрице $ A_{} $ --- ((:algebra2/symmetric симметричной)) и ((:2form#znakoopredelennost отрицательно определенной)) любое решение системы будет ограниченным; оно может быть представлено в виде линейной комбинации синусов и косинусов от $ \Omega_1 t,\dots, \Omega_n t $, где $ \Omega_j $ означает квадратный корень из ((:algebra2:charpoly#собственное_число собственного числа)) матрицы $ A_{} $, взятого с противоположным знаком. Эти величины $ \{ \Omega_j \}_{j=1}^n $ называются **собственными частотами колебаний** системы и мы предполагаем их различными и несоизмеримыми.
Если в какое-то из уравнений системы ввести дополнительное слагаемое, представляющее собой периодическую возбуждающую силу, то резонансных частот для этой силы будет уже несколько --- как раз $ \{ \Omega_j \}_{j=1}^n $.
== Акустический резонатор ==
или резонатор Гельмгольца[[фон Гельмгольц Герман Людвиг Фердинанд (Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz, 1828-1894) --- немецкий математик, физик, биолог и психолог, основатель математической теории акустики. Биография ☞ ((http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Helmholtz.html ЗДЕСЬ)).]] --- сосуд сферической формы с открытой горловиной. Служит для выделения или подавления определенных частот в звуковых сигналах. Воздух в горловине является колеблющейся массой, а объем воздуха в сосуде играет роль упругого элемента. При смещении этой массы, например, в сторону сферического объема воздух в этом объеме слегка сжимается и возникающие силы избыточного давления выполняют роль возвращающей силы.
{{ signal:speech:552px-helmholtz_resonator.jpg |}}
**Оригинал** фотографии
☞
((http://en.wikipedia.org/wiki/File:Helmholtz_resonator.jpg ЗДЕСЬ))
Упрощенная модель резонатора учитывает колебания воздуха только в горловине, поскольку эти резонаторы имеют применения только в слышимом диапазоне частот[[Хотя при расширении диапазона возбуждающих колебаний в ультразвуковую сторону можно возбудить стоячую волну и в самой колбе.]].
{{ signal:speech:helm.gif |}}
В этом предположении
собственная частота колебаний воздуха в горловине (или частота резонатора Гельмгольца) равна
$$ \omega_0= c \sqrt{\frac{S}{V\ell}} \ , $$
где $ c_{} $ --- скорость звука, $ S_{} $ --- площадь поперечного сечения горловины, $ \ell_{} $ --- ее длина, $ V_{} $ --- объем колбы резонатора.
!!П!! **Пример.** При $ V=10^{-3} $ м$ ^3 $, $ S=1 $ см$ ^2 $, $ \ell = 1 $ см, $ c = 334 $ м/c получаем частоту
$$ F= \frac{\omega_0}{2\pi} \approx 168 \ \mbox{ Гц } \ . $$
Если имеется источник (генератор) периодических звуковых колебаний, то при частоте этих колебаний близких к собственной частоте резонатора происходит либо резкое усиление звука, либо его практически полное исчезновение.
Череп человека, являясь замкнутой полостью с отверстием, также представляет собой резонатор Гельмгольца. По некоторым данным, резонансной областью для него являются частоты 20-25 Гц. Как известно, облучение человека звуковыми колебаниями частотой 25 Гц в течение 30 минут при определенной интенсивности источника вызывает эпилептический припадок.
----
==Источники==
[1]. **Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А.** //Колебания и волны. Лекции.// Изд-во физического факультета МГУ. 2001. Текст ☞ ((http://www.astronet.ru/db/msg/1175791/index.html ЗДЕСЬ))
[2]. **Шихатов А.И.** //Акустические резонаторы.// Ж-л. "Мастер 12 Вольт". 2004. Текст ☞ ((http://www.bluesmobil.ru/shikhman/arts/helmhlz.htm ЗДЕСЬ))