==Разные закономерности== ==Закон Ципфа== Если упорядочить слова языка в порядке их частот (вероятностей появления в языке), то частота $ n_{} $-го по порядку слова для всех не слишком больших значений $ n_{} $ примерно пропорциональна $ 1/n $. Так, если частота появления первого слова списка равна $ p_1 $, то частота появления второго равна $ p_1/2 $, третьего --- $ p_1/3 $, и т.д., десятое слово из списка встречается примерно в $ 10 $ раз реже первого. Отношение частоты появления $ m $-го слова к $ n $-му примерно равно $ n/m $ ((http://dict.ruslang.ru/freq.php?act=show&dic=freq_freq&title=%D7%E0%F1%F2%EE%F2%ED%FB%E9%20%F1%EF%E8%F1%EE%EA%20%EB%E5%EC%EC .)) Язык песен горбатых и синих китов подчиняются закону частотности Ципфа ((https://alev-biz.livejournal.com/6538328.html .)) $10$ самых часто встречающихся слов в английском языке, ранжированных по убыванию $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline \mbox{the} & \mbox{of} & \mbox{and} & \mbox{to} & \mbox{a} & \mbox{in} & \mbox{that} & \mbox{it} & \mbox{is} & \mbox{was} \end{array} $$ ==Закон Менцерата-Альтмана== The larger the whole, the smaller its parts. Увеличение размера лингвистической конструкции влечет за собой уменьшение размера ее составляющих, и наоборот. Например, чем длиннее слово (измеренное в слогах или морфах), тем короче слоги или морфы звуков. $$ y=ax^be^{-cx} $$ Здесь $ y $ --- размер составляющей части (например, длина слога); $x$ --- размер рассматриваемой лингвистической конструкции (например, число слогов в каждом слове); $a,b,c$ --- положительные константы ==Закон Гудхарта== When a measure becomes a target, it ceases to be a good measure «Когда мера становится целью, она перестает быть хорошей мерой»[1], потому что становится объектом манипулирования как прямого (фальсификация чисел), так и косвенного (работа исключительно для улучшения этой меры)[2][3]. Так, если экономический показатель становится целевой функцией для проведения экономической политики, прежние эмпирические закономерности, использующие данный показатель, перестают действовать. ==Закон Бенфорда== Во многих числовых наборах данных из "реальной жизни", т.е. конкретный набор с большей вероятностью начинается с меньшей цифры. То есть если в наборе данные записаны в десятичной системе исчисления, то вероятность появления $1$ в первом разряде выше, чем появления $2$, появление $2$ в первом разряде выше, чем $ 3 $ и т.д. Закон также известен как **закон Ньюкома-Бенфорда**. Астроном Симон Ньюком в 1881 г. обратил внимание, что в изданиях ((https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC#%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%8B логарифмических таблиц)) первые страницы (содержащие числа, начинающиеся с $1$) более затерты, чем последующие страницы. Он предположил, что вероятность появления цифры $n\ge 1$ в качестве первой цифры данных равна $$ \log_{10}(1+1/n) = \log_{10}(n+1) - \log_{10}(n) \, ,$$ т.е. $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \mbox{Цифра} &1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \Pr & 0.301 & 0.176 & 0.125 & 0.097 & 0.079 & 0.066 & 0.058 & 0.051 & 0.046 \end{array} $$ Обобщение результата. Если $\mathcal M(x) $ --- мантисса $(k+1)$-разрядного целого числа $x>0$: $$ \mathcal M(x)=x/10^k, \quad \mathcal M(x) \in [1,10[ \ , $$ то доля чисел, удовлетворяющих условию $ \mathcal M(x) \in [a,b [ $ при $1 \le a