==Теория вероятностей== ~~TOC~~ Вспомогательный раздел. Пока здесь выложены основы теории на полуинтуитивном уровне. ===Случайное событие, случайная величина== На практике часто приходится сталкиваться со случайными процессами (испытаниями, опытами, наблюдениями), т.е. процессами, результаты которых различны и зависят от обстоятельств, которые мы не знаем или не умеем учитывать. Так, к примеру, при бросании игральной кости (шестигранного кубика, с гранями, занумерованными цифрами $ 1,2,3,4,5,6 $) мы не можем знать заранее какая грань окажется сверху, так как это зависит от многих неизвестных нам обстоятельств. Нельзя также предсказать заранее, сколько выпускников школы подаст в определенный год заявления на конкретный факультет СПбГУ или сколько дождливых дней будет в августе следующего года. Применение математики к изучению подобного рода явлений опирается на то, что во многих случаях при многократном повторении одного и того же опыта в одних и тех же условиях частота появления интересующего нас результата (т.е. отношение числа опытов, в которых этот результат наблюдался, к общему числу производимых опытов) остается все время примерно одинаковой, близкой к некоторому постоянному числу. События, которые могут произойти или не произойти на каждом шаге случайного процесса (или в результате производимого опыта) будем называть **случайными событиями** (или **исходами** данного **опыта**). **Вероятностью события** называется отношение числа равновероятных исходов, благоприятных для данного события к общему числу равновероятных исходов. !!§!! Везде в настоящем разделе предполагается, что число событий конечно. Случайные события будем обозначать большими латинскими буквами $ A,B,S $ и т.п., а их вероятности обозначать буквой[[Probabilitas (лат.) --- правдоподобие, вероятность.]] $ P_{} $, именно: $ P(A), P(B), P(S), \dots $. !!§!! Иногда я буду использовать и строчную букву $ p_{} $, но тогда возникает коллизия с ((:numtheory#простые_числа теорией целых чисел)) --- буква $ p_{} $ зарезервирована в ней за простым числом. Из этого определения следует, что вероятность всегда выражается правильной дробью. Так, например, пусть имеется хорошо перемешанная колода из $ 36 $ игральных карт, и из этой колоды вынимают одну карту, тогда число случаев благоприятных тому событию, что карта будет бубновой масти ♦ равно $ 9_{} $, общее число всех равновероятных случаев равно $ 36 $. Поэтому $$ P_{} (\mbox{ появление карты бубновой масти }) = \frac{9}{36}= \frac{1}{4} . $$ Пусть случайный процесс может находиться в одном из $ n_{} $ возможных состояний $ S_1,S_2,\dots, S_n $ с вероятностями, заданными таблицей $$ \begin{array}{l|l|l|l} S_1 & S_2 & \dots & S_n \\ \hline P_1 & P_2 & \dots & P_n \end{array} \quad \mbox{ при этом } \quad P_1+P_2+\dots+P_n=1 \ . $$ Предположим, что каждое из состояний описывается появлением некоторого вещественного числа, т.е. $ S_1=a_1,\dots,S_n=a_n $ при $ \{a_j\}_{j=1}^{n} $ --- различных. Например, замеры температуры в Петербурге, с интервалом в $ 12 $ часов, с точностью до десятых долей градуса ((http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%82_%D0%A1%D0%B0%D0%BD%D0%BA%D1%82-%D0%9F%D0%B5%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B1%D1%83%D1%80%D0%B3%D0%B0 попадают)) в набор чисел $ \{-35.9,-35.8,\dots,+37.0,+37.1\} $. В данном случае случайный процесс "оцифрован" --- каждое его состояние описывается числом; для такого случайного процесса принято название **случайная величина**. ===Математическое ожидание и дисперсия== Само название "случайная величина" обязывает как-то оценивать ее значение. Это удается сделать с помощью понятия среднего значения. Для случайной величины $ A_{} $ с таблицей вероятностей $$ \begin{array}{l|l|l|l} a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ \hline P_1 & P_2 & \dots & P_n \end{array} \ ; P_1+P_2+\dots+P_n=1 \ . $$ **средним значением** или **математическим ожиданием случайной величины** $ A_{} $ называется число[[В англоязычной литературе называется Expectation или expected value и обозначается $ E(A) $.]] $$ M(A)=P_1a_1+P_2a_2+\dots+ P_n a_n \ . $$ В случае равновероятных состояний имеем: $$ M(A)= (a_1+a_2+\dots+ a_n)/n \ . $$ !!?!! Таблицы вероятностей, указывающие частоту попаданий в мишень двух стрелков $ A_{} $ и $ B_{} $ имеют вид $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline A & 0.02 & 0.03 & 0.05 & 0.10 & 0.15 & 0.20 & 0.20 & 0.10 & 0.07 & 0.05 & 0.03 \\ \hline B & 0.01 & 0.01 & 0.04 & 0.10 & 0.25 & 0.30 & 0.18 & 0.05 & 0.03 & 0.02 & 0.01 \end{array} $$ {{ befunky_dscf4256.jpg |}} Кого из стрелков следует считать более метким? !!?!! Какова, на Ваш взгляд, среднегодовая температура в Петербурге? Выскажите гипотезу 8-), а потом попробуйте найти статистику в интернете. Еще одной характеристикой случайной величины $ A_{} $ является ее **дисперсия**, т.е. мера разброса значений этой величины от ее среднего значения $ M(A) $. Она вычисляется по формуле[[В англоязычной литературе называется //variance// и обозначается $ \operatorname{Var}(A) $.]] $$ D(A)=\sum_{j=1}^n P_j ( a_j-M(A))^2 $$ и представляет собой математическое ожидание случайной величины, равной квадрату отклонения случайной величины $ A $ от ее среднего значения $ M(A) $. Часто обозначается $ \sigma^2 $, где величина[[Корень --- арифметический.]] $ \sigma=\sqrt{D(A)} $ называется **среднеквадратичным отклонением**. Если на наших мишенях ввести декартову прямоугольную систему координат с началом координат --- в центрах, то координаты попаданий можно считать случайными величинами. В терминологии стрельбы, можно сказать что дисперсии этих случайных велчин являются характеристиками ((https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%83%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%B1%D0%BE%D1%8F_%D0%BE%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%B8%D1%8F кучности боя оружия)). Так, в случае равновероятных состояний имеем: $$ D(A)=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n \left( a_j- \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i \right)^2=\frac{1}{n^2} \sum_{i,j=1}^n \frac{1}{2} (a_i-a_j)^2= \frac{1}{n^2} \sum_{1\le i ♣ масти из колоды карт, а $ A_{1} $ --- выемка карты черной масти. В этом случае событие $ A_{1} $ заведомо выполняется при всех тех состояниях случайного процесса, при которых выполняется событие $ A_{} $; поэтому вероятность события $ A_{1} $ не может быть меньше вероятности события $ A_{} $. То обстоятельство, что выполнение события $ A_{} $ влечет за собой $ A_{1} $ будем записывать в виде $ A \subset A_1 $. Имеет место свойство: $$ P(A) \le P(A_1) \quad \mbox{ при } \quad A \subset A_1 \ . $$ ====Сложение событий== Рассмотрим теперь событие, которое состоит в том, что выполняется //хотя бы одно// из двух событий $ A_{} $ и $ B_{} $; это событие будем называть **суммой событий** $ A_{} $ и $ B_{} $ и обозначать $ A+B $. При этом могут иметь место два существенно различных случая. События $ A_{} $ и $ B_{} $ называются **несовместимыми**, если сразу оба они не могут иметь места. Найденная на улице монета не может быть одновременно и рублем и пятирублевкой. !!Т!! **Теорема 1 [сложения вероятностей]**. //Если события// $ A_{} $ //и// $ B_{} $ //несовместимы то// $$ P(A+B) = P(A)+P(B) \ . $$ **Доказательство** проиллюстрируем на простом примере. Предположим, например, что в ящике содержатся $ n_{1} $ белых шаров, на которых написан номер $ 1_{} $ , и $ n_{2} $ белых шаров, на которых написан номер $ 2_{} $, а также $ m_{1} $ черных шаров, на которых написан номер $ 1_{} $, и $ m_{2} $ черных шаров, на которых написан номер $ 2_{} $. Случайный процесс выемки шаров (с последующим возвращением их в ящик) может находиться в четырех состояниях: $$ S_1 = \mbox{белый шар с номером 1},\ S_2 = \mbox{белый шар с номером 2}, $$ $$ S_3 = \mbox{черный шар с номером 1},\ S_4 = \mbox{черный шар с номером 2} \ . $$ Вероятность того, что случайным образом выбранный шар окажется белым равна $ (n_1+n_2)/(n_1+m_1+n_2+m_2) $. Тот же самый результат получится если мы сложим вероятность появления белого шара с номером $ 1_{} $ с вероятностью появления белого шара с номером $ 2_{} $. ♦ !!=>!! //Если некоторое событие представимо в виде суммы нескольких несовместимых событий, то его вероятность равна сумме вероятностей всех этих событий//: $$ P(A_1+A_2+\dots+A_k)=P(A_1)+P(A_2)+\dots+P(A_k) \ . $$ Предположим теперь, что события $ A_{} $ и $ B_{} $ не несовместимы, т.е. некоторые состояния, принимаемые случайным процессом, могут относится и к событию $ A_{} $ и к событию $ B_{} $. В этом случае уже нельзя утверждать, что $ P(A+B)=P(A)+P(B) $. !!П!! **Пример.** Если рассматривать пример с киданием игральной кости, и в качестве события $ A_{} $ рассматривать появление чётной кости, а событием $ B_{} $ считать появление кости, делящейся на $ 3_{} $, то $$ P(A)=3/6,P(B)=2/6 \ \mbox{и} \ P(A)+P(B)=5/6 \, .$$ Но сумма событий $ A+B $ --- т.е. событие, которое происходит либо при выпадении чётной кости, либо кости, делящейся на $ 3_{} $ --- эквивалентно событию, заключающемуся в выпадении любой из костей $ \{ 2,3,4,6 \} $. Следовательно, $ P(A+B)= 4/6 \ne P(A)+P(B) $. ♦ И в общем случае можно лишь утверждать, что $$ P(A+B) \le P(A)+P(B) \ . $$ ====Умножение событий== Теперь попробуем уточнить последнее неравенство. Назовем **произведением** или **совместным появлением событий** $ A_{} $ и $ B_{} $ событие, которое заключается в наступлении и события $ A_{} $ и события $ B_{} $. !!П!! **Пример.** В примере с киданием игральной кости в качестве события $ A_{} $ рассмотрим появление чётной кости, а в качестве события $ B_{} $ --- появление кости, делящейся на $ 3_{} $. Тогда произведением событий $ A_{} $ и $ B_{} $ будет событие, заключающееся в появлении кости $ 6_{} $. ♦ !!П!! **Пример.** На дороге ГАИшник останавливает случайным образом машины. Событие $ A_{} $ заключается в том, что марка машины --- японская, событие $ B_{} $ --- что эта машина собрана в России. Произведением событий является то событие, что машина является японской марки, но отечественной сборки. ♦ !!Т!! **Теорема 2**. //Вероятности суммы событий и их произведения связаны равенством//: $$ P(A+B) = P(A)+P(B) - P(AB) \ . $$ **Доказательство.** В самом деле, пусть среди равновероятных состояний $ S_{j_{_1}},\dots, S_{j_{_{m_1}}} $ случайного процесса, при которых выполняется событие $ A_{} $ и $ S_{k_{_1}},\dots, S_{k_{_{m_2}}} $ состояний, при которых выполняется событие $ B_{} $, имеется ровно $ \ell_{} $ одинаковых состояний: $ S_{t_{_1}},\dots,S_{t_{_{\ell}}} $. Очевидно, если имеет место одно из состояний $ S_{t_{_1}},\dots,S_{t_{_{\ell}}} $, то имеют место оба события $ A_{} $ и $ B_{} $, поэтому $ P(AB)=\ell/n $. С другой стороны, если среди состояний $ S_{j_{_1}},\dots, S_{j_{_{m_1}}} $ и состояний $ S_{k_{_1}},\dots, S_{k_{_{m_2}}} $ имеется ровно $ \ell_{} $ одинаковых, то суммарное количество состояний равно $ m_1+m_2- \ell $. Таким образом, $$ P(A+B)=\frac{m_1+m_2-\ell}{n}=\frac{m_1}{n}+ \frac{m_2}{n}- \frac{\ell}{n}= P(A)+P(B) - P(AB) \ . $$ ♦ Применение этого правила к последнему примеру приводит к правильному выводу поскольку одновременное выпадение кости, которая будет и чётной и делящейся на $ 3_{} $ совпадает со случайным событием, заключающимся в выпадении шестёрки --- и вероятность этого события $ 1/6 $. Задача определения вероятности события $ A+B $ по вероятностям событий $ A_{} $ и $ B_{} $ сводится к нахождению вероятности произведения $ AB_{} $. Этот вопрос не тривиален и будет рассмотрен в следующем пункте. Результат теоремы 2 обобщается и на случай произвольного числа событий. !!Т!! **Теорема 3.** //Имеет место равенство// $$ P(A_1+A_2+A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1A_2)-P(A_1A_3)-P(A_2A_3)+P(A_1A_2A_3) \ . $$ ====Условные вероятности== Вероятность события $ B_{} $ в том случае, когда известно, что имело место событие $ A_{} $, называется **условной вероятностью события** $ B_{} $ **при условии** $ A_{} $; она обозначается $ P_A(B) $ или $ P(B \mid A) $. В контексте этого определения вероятности $ P(A) $ и $ P(B) $ иногда называют **безусловными вероятностями** соответствующих событий. !!П!! **Пример.** В ящике лежат $ 3_{} $ черных шара и $ 1_{} $ белый. Вероятность выбора черного шара равна $ 3/4 $. Теперь предположим, что один шар убирают. Если этот шар был черным, то вероятность вытащить черный шар при следующей попытке уменьшается до $ 2/3 $; если убранный шар был белым, то вероятность вытащить следующим черный шар увеличивается до $ 1_{} $. ♦ Пример показывает, что условная вероятность может быть как больше, так и меньше безусловной. Важным случаем является и случай равенства этих вероятностей. **События** $ A_{} $ и $ B_{} $ называются **независимыми** если наступление или ненаступление одного из них не меняет вероятности наступления другого. Пусть вероятность события $ A_{} $ ненулевая. Тогда для независимости событий $ A_{} $ и $ B_{} $ необходимо, чтобы $ P_A(B) = P(B) $. На самом деле, как покажем ниже, это условие будет и достаточным для независимости, т.е. $$ P(A) \ne 0,\ P_A(B) = P(B) \quad \Rightarrow \quad P_B(A) = P(A) \ . $$ !!П!! **Пример.** Пусть случайный событие $ A_{} $ заключается в появлении масти карты --- бубновой ♦ , червовой ♥ , трефовой ♣ или пиковой ♠ --- при выборе ее из колоды в $ 36_{} $ карт. Пусть случайное событие $ B_{} $ заключается в появлении достоинства карты --- //шестерки//,//семерки//, //восьмерки//, //девятки//, //десятки//, //валета//, //дамы//, //короля// или //туза// --- при выборе ее из той же колоды. Какова вероятность появления //семерки// при выборе карты из колоды? --- Очевидно, она равна $ 4/36=1/9 $. Предположим теперь, что из колоды выбрана карта пиковой масти. Какова вероятность, что она окажется //семеркой//? --- Да всё та же: $ 1/9 $. К аналогичному результату придем и сменой последовательности рассуждений: если выбранная карта оказалась //семеркой//, то какова вероятность, что она --- //пика//? --- Да такая же, как если бы нам не была известна информация о том, что она --- именно //семерка//. Следовательно, два события $ A_{} $ и $ B_{} $ независимы. ♦ !!?!! В чем различие между независимыми событиями и несовместимыми событиями? !!Т!! **Теорема [умножения вероятностей]**. //Вероятность произведения двух событий вычисляется по правилу// $$ P(AB)=P(A)P_A(B)=P(B)P_B(A) \ . $$ **Доказательство.** Пусть случайный процесс может находиться в одном из $ n_{} $ возможных, несовместимых и равновероятных состояний $$S_1,\dots,S_m,S_{m+1},\dots,S_{m_1},S_{m_1+1},\dots S_n \ .$$ При этом нахождение системы в первых $ m_1 $ состояний $$ S_1,\dots,S_m,S_{m+1},\dots,S_{m_1} $$ благоприятствует некоторому событию $ A_{} $, а остальные --- не благоприятствуют. Пусть далее, из указанных состояний первые $ m_{} $, т.е. $ S_1,\dots,S_m $ благоприятствуют другому событию $ B_{} $, а остальные --- не благоприятствуют. При таких условиях $ P(A)= m_1/n $. Вероятность же события $ B_{} $, когда известно, что событие $ A_{} $ уже произошло, равна $ m/m_1 $, так как при осуществлении события $ A_{} $ состояния $ S_{m_1+1},\dots,S_{n} $ невозможны, а состояния $ S_1,\dots,S_{_{m_1}} $ остаются по-прежнему равновероятными. Наконец, $ P(AB)= m/n $, так как совместное появление обоих событий --- только в состояниях $ S_1,\dots,S_m $. Очевидно: $$ \frac{m}{n}=\frac{m_1}{n} \cdot \frac{m}{m_1} \ ,$$ что и доказывает первое равенство теоремы. Второе равенство следует из того, что $ P(AB)=P(BA) $. ♦ !!=>!! Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их безусловных вероятностей: $$ P(AB)=P(A)P(B) \ . $$ !!П!! **Пример.** Какова вероятность появления карты //семерка пик//? С одной стороны, понятно, что она --- как результат выбора одной карты из колоды --- равна $ 1/36 $. То же число появляется в результате перемножения двух вероятностей: вероятности появления пиковой масти на вероятность появления //семерки// (произвольной масти). ♦ !!=>!! Пусть $ A_1,A_2,\dots,A_k $ --- какие-то $ k_{} $ взаимно независимых события, т.е. условия опыта, с результатом которого связано какое-либо одно из этих событий, никак не зависят от выполнения или невыполнения остальных событий. В этом случае $$P(A_1A_2\times \dots \times A_k)=P(A_1)P(A_2)\times \dots \times P(A_k) \ . $$ !!П!! **Пример**((#источники [1])). В семье --- двое детей. Какова вероятность того, что оба ребенка мальчики, если известно, что в семье уже есть мальчик? **Решение.** Интуитивно кажется, что ответом будет $ 1/2 $. Однако это не так. Обозначим буквами М и Д соответственно мальчика и девочку, и на первом месте будем указывать старшего ребенка[[Можно, в альтернативу, --- и первого ребенка, что войдет в данную комнату ;-).]] . Имеем четыре возможности: М М , М Д , Д М и Д Д . Этим события несовместимы и имеют вероятность $ 1/4 $. Событие $ A_{} $: один из детей --- мальчик; событие $ B_{} $: оба ребенка --- мальчики. Если произошло событие $ A_{} $, то случайный процесс находится в одном из трех равновероятных и несовместных состояний: М М , М Д , Д М . Правильный ответ: $ P_A(B)=1/3 $. ♦ Последняя задача положила начало длительному спору об однозначности интерпретации постановки задачи. См. ☞ ((https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D1%87%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%B8_%D0%B4%D0%B5%D0%B2%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8 Парадокс мальчика и девочки)). !!П!! **Пример.** Вероятность прихода в течение четверти часа автобуса 404 к остановке у станции метро ((http://www.metrowalks.ru/spb/station-1-17 "Автово")) равна $ 1/6 $, автобуса 424 --- $ 1/2 $, а автобуса 224 --- $ 1/3 $. Какова вероятность того, что студент, ожидающий любого из указанных видов транспорта уедет в университет в течение четверти часа? **Решение.** 1. Можно решить пример применением теоремы 3 из предыдущего пункта и теоремы об умножении вероятностей. Поскольку все три события являются взаимно независимыми, то $$p(A_1+A_2+A_3)=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}+ \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} \right) + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} =\frac{13}{18} \ . $$ 2. Альтернативный способ заключается в поиске вероятности того события, что студент не уедет ни на одном автобусе. События ((#свойства_вероятности противоположные)) событиям $ A_1,A_2 $ и $ A_3 $ имеют вероятности: $$ P(\overline{A_1})=1-\frac{1}{6},\ P(\overline{A_2})=1-\frac{1}{2},\ P(\overline{A_3})=1-\frac{1}{3} \ . $$ Для того чтобы студент не уехал, необходимо, чтобы не пришел ни один автобус, т.е. речь идет о событии $ \overline{A_1} \cdot \overline{A_2} \cdot \overline{A_3} $. Имеем, следовательно: $$ P(\overline{A_1})= 1- P(\overline{A_1} \cdot \overline{A_2} \cdot \overline{A_3})=1-\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{13}{18} \ . $$ ♦ !!П!! **Пример.** Студент выходит из ((http://www.apmath.spbu.ru/ru/ здания университета)) и едет на ((http://www.metrowalks.ru/spb/station-1-14 "Балтийскую")) на одном из видов транспорта: автобусе или электричке. В среднем, в трех случаях из четырех он идет на платформу, а в одном случае --- на автобусную остановку[[Для простоты считаем, что расстояния до этих объектов одинаковы.]]. Ждет транспорта $ 20 $ минут. Вероятность прихода автобуса --- $ 1/2 $, электрички --- $ 1/3 $. Какова вероятность, что студент уедет в город в течение этих $ 20 $ минут? **Решение.** Итак, событие //отъезд в город// достигается при нахождении в одном из двух несовместимых состояний: $$ S_1 = \mbox{ отъезд в город на автобусе }, \quad S_2= \mbox{ отъезд в город на электричке} \ . $$ Вероятность каждого из этих двух событий вычисляется по теореме умножения вероятностей: $ P(S_1)= 1/4 \cdot 1/2 $ , $ P(S_2)= 3/4 \cdot 1/3 $. В соответствии с теоремой о сложении вероятностей, вероятность отъезда: $ P(S_1)+P(S_2)=3/8 $. ♦ !!?!! В ящике имеются $ 3_{} $ карточки, на которых написана буква А , $ 2_{} $ карточки, на которых написана буква П и $ 1_{} $ карточка, на которой ничего не написано. Поочередно выбираются четыре карточки и выкладываются в ряд. Какова вероятность того, что получилось слово П А П А ? !!?!! Пусть $ M \in \mathbb N $. Определить вероятность того, что число случайным образом выбранное из множества $ \{1,2,\dots,M\} $, будет ((:numtheory#взаимно_простые_числа взаимно просто)) с $ M_{} $. ====Теорема Бернулли== !!Т!! **Теорема [Бернулли].** //Если вероятность некоторого события равна// $ P $, //то вероятность того, что в серии из// $ n $ //испытаний это событие произойдет в// $ m $ //испытаниях равна// $$ C_n^mP^m(1-P)^{n-m} \, . $$ //Здесь// $ C_n^m $ --- //((:algebra2/notations#binomialnyj_koehfficient биномиальный коэффициент))//. === Парадокс дней рождения == В комнате находятся $ n_{} $ человек. Какова вероятность того события, что дни их рождения все различны? Будем считать, что в году --- $ 365 $ дней. Интуитивно кажется, что при $ n\le 182 $ более вероятно, что все дни рождения будут различными. Однако это не так. Для наглядности рассуждений, предположим, что что люди входят в комнату один за другим --- как приглашенные гости. Вероятность того, что у второго гостя день рождения не совпадает с первым равна $ 364/365 $, у третьего гостя не совпадает с первым и вторым --- $ 363/365 $, и т.д., у $ n_{} $-го не совпадает со всеми пришедшими ранее --- $ (365 - (n - 1))/ 365 $. Вероятность совместного осуществления всех этих событий выражается (см. ☞ ((#условные_вероятности теорему умножения вероятностей)) ) произведением $$ P_n = \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \times \dots \times \frac{366-n}{365} \ , $$ и понятно, что эта вероятность уменьшается с возрастанием $ n_{} $. Насколько быстро? $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} n & 5 & 10 & 15 & 20 & 21 & 22 & 23 \\ \hline P_n & 0.9728644263 & 0.8830518223 & 0.7470986802 & 0.5885616164 & 0.5563116648 & 0.5243046923 & 0.4927027657 \\ \end{array} $$ Итак, уже среди $ 23 $-х гостей более вероятно то, что хотя бы у одной пары дни рождения будут одинаковыми, чем то, что у всех дни рождения будут различными! ===Задачи== ☞ ((:probability:problems ЗДЕСЬ)) ==Источники== [1]. **Феллер В.** //Введение в теорию вероятностей и ее приложения.// Т.1. Т.2. М.Мир. 1967 [2]. **Яглом А.М., Яглом И.М.** //Вероятность и информация.// М. Наука. 1973.