!!§!! Вспомогательный раздел к пункту
☞
((:polynomialm#случай_двух_переменных Алгебраические уравнения: случай двух переменных)).
----
!!!!! Несколько громоздкий и редко востребуемый материал...
----
==Ряд Пюизё==
Пусть $ f_{}(x,y) $ --- полином степени $ n_{}>1 $ с вещественными коэффициентами, $ f(0,0)=0 $ и
$ \partial f / \partial y \mid_{(0,0)} = 0 $, т.е. корень $ y_{}=0 $ является ((:polynomial#основная_теорема_высшей_алгебры кратным корнем)) полинома $ f(0,y) $. Требуется построить все решения уравнения $ f_{}(x,y)=0 $, удовлетворяющие условию $ y(0)=0 $. Решение этой задачи оказывается возможным посредством представления решения $ y_{}(x) $ в виде ряда по степеням переменной $ x_{} $, только указанные степени приходится брать дробными.
Для пояснения идеи рассмотрим сначала один частный случай ((#источники [1])):
$$ f(x,y)=a_{10}x+a_{0m}y^m+\dots \qquad npu \quad m>1 ; $$
здесь под многоточием скрываются одночлены, делящиеся на один из мономов $ x^2,\ xy,\ y^m $.
Алгоритм решения поясню на примере[[Расчеты --- мои.]].
!!П!! **Пример.** Найти такое решение ((:algebra2:course:miscellania:vspom1 уравнения Эйлера))
$$ f(x,y)=y^5-3\, y^4+3\,y^3 - x(1-y)^2 = 0 $$
относительно переменной $ y_{} $, которое удовлетворяет условию $ y(0)=0 $.
**Решение.** Имеем $ \partial f / \partial y = 0 $ в точке $ (0,0) $. Условие ((:polynomialm#случай_двух_переменных теоремы 1)) (существования неявной функции) нарушено, и, построение решения уравнения в виде ряда по натуральным (целым положительным) степеням переменной $ x_{} $ невозможно. Но, может быть,
удастся построить решение по дробным степеням этой переменной?
Обратим внимание на то, что $ \partial f / \partial x \ne 0 $ в точке $ (0,0) $, и, следовательно, в соответствии с теоремой 1, можно найти представление для функциональной зависимости $ x = \varphi (y) $ в виде сходящегося ряда по степеням $ y_{} $. Этот ряд строится элементарными рассуждениями:
$$
x=\frac{y^5-3\, y^4+3\,y^3}{(1-y)^2} = (y^5-3\, y^4+3\,y^3) \left( \sum_{j=0}^{\infty} \frac{y^j}{j!} \right)^2
=3\,y^3+ \sum_{j=4}^{\infty} (j-1) y^j =
$$
$$
=y^3(3+3\,y+4\,y^2+5\,y^3+6\,y^4+7\,y^5+\dots )
$$
и он сходится при $ |y|<1 $. Теперь построим ряд для обратной функции. Имеем:
$$ \sqrt[3]{x} = y \sqrt[3]{3+3\,y+4\,y^2+5\,y^3+6\,y^4+7\,y^5+\dots} . $$
Раскладываем выражение $ ( \quad )^{1/3} $ из правой части в ряд Тейлора:
$$ \sqrt[3]{3+3\,y+4\,y^2+5\,y^3+6\,y^4+7\,y^5+\dots} = \sqrt[3]{3} \left(1+\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}y^2+\frac{26}{81}y^3+\frac{74}{243}y^4+\frac{70}{243} y^5+\frac{1793}{6561}y^6 + \dots \right) \ . $$
Это --- вещественное значение корня кубического из ряда. Помимо него, существуют еще и два мнимых, получаемых домножением вещественного значения на ((:complex_num#корни_из_единицы корни кубические из единицы)): $ \varepsilon_{1,2}= -\frac{1}{2} + \mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Последний шаг заключается в применении ((:polynomialm#случай_двух_переменных теоремы 1)) к выражению $ y_{} $ как функции от $ X=\sqrt[3]{x/3} $ из уравнения
$$ X= y\left(1+\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}y^2+\frac{26}{81}y^3+\frac{74}{243}y^4+\frac{70}{243} y^5+\frac{1793}{6561}y^6 + \dots \right) . $$
Имеем:
$$
y_1=\sqrt[3]{\frac{x}{3}}-\frac{1}{3} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^2- \frac{1}{9} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^3+\frac{4}{81} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^4 + \frac{16}{243} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^5
-\frac{259}{6561} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^7+ \dots ;
$$
$$
y_2=\sqrt[3]{\frac{x}{3}}\varepsilon_1-\frac{1}{3} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^2\varepsilon_2
- \frac{1}{9} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^3+\frac{4}{81} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^4\varepsilon_1
+ \frac{16}{243} \left(\sqrt[3]{\frac{x}{3}} \right)^5 \varepsilon_2+ \dots ;
$$
и $ y_3=\overline{y_2} $. Здесь под выражением $ \sqrt[3]{x/3} $ понимается единственное вещественное значение корня кубического из числа.
♦
В общем же случае, когда полином $ f_{}(x,y) $ имеет вид
$$ f(x,y)=a_{10}x+a_{0m}y^m+\dots \qquad npu \quad m>1 , $$
получим $ m_{} $ решений уравнения $ f_{}(x,y)=0 $ в виде рядов по степеням $ x^{1/m} $ с комплексными коэффициентами.
----
Подобный ряд --- по степеням $ x^{1/m} $ или, в общем случае, $ (x-x_0)^{1/m} $, где $ x_0 \in \mathbb C, 1< m\in \mathbb N $ называется **рядом Пюизё**[[**Пюизё** (или Пюизо) Виктор (Puiseux Victor Alexandre, 1820-1883) --- французский математик. Биография ☞ ((http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Puiseux.html ЗДЕСЬ))]].
-----
Алгоритм, проиллюстрированный в примере, сработал за счет выполнения условия $ \partial f / \partial x \ne 0 $ в интересующей нас точке.
Совершенно исключительным случаем будет случай, когда в этой точке кривой $ f_{}(x,y)=0 $ обе частные производные обратятся в нуль:
$$ \partial f / \partial x =0,\ \partial f / \partial y =0 \ . $$
Такая точка называется **особой точкой кривой** $ f_{}(x,y)=0 $. Иными словами, ((:polynomialm#экстремумы_полинома линия уровня))
$ f_{}(x,y)=0 $ полинома проходит через ((:polynomialm#экстремумы_полинома стационарную точку)) этого полинома.
{{users:au:scriber.jpg |}}
\\
\\
\\
Статья не закончена!
==Источники==
[1]. **Гурса Э.** //Курс математического анализа.// Т.2. М.-Л.ГТТИ. 1933