!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:polynomialm ПОЛИНОМ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ))

----


!!Т!! **Теорема [Безу].** //Полином общего вида// $ n_{} $//-й степени от// $ \ell_{} $ //переменных имеет//

$$ C_{n+\ell}^{\ell}$$ 
//коэффициентов.// 

**Доказательство** проведем ((:basics/induction индукцией)) по числу $\ell$ переменных. Для полинома одной
переменной утверждение очевидно. 

Пусть теорема справедлива для полинома $(\ell-1)$-й переменной. 
В разложении полинома $f$ самого общего вида степени $n$ от переменных $ x_1,\dots,x_{\ell} $ по степеням переменной $ x_1 $:
$$
f(x_1,x_2,\dots,x_{\ell})=
$$
$$
=a_0(x_2,\dots,x_{\ell})x_1^{n_1} 
+a_1(x_2,\dots,x_{\ell})x_1^{n_1-1}+\dots+a_{n_1}(x_2,\dots,x_{\ell}) 
$$
имеем $n_1=n$, а 
$$\deg a_m(x_2,\dots,x_{\ell})=m \quad \mbox{ при } \  m\in \{0,\dots,n\} \, . $$
По индукционному предположению, полином 
степени $m$ от переменных $x_2,\dots,x_{\ell}$ имеет, в общем случае,
$C_{m+\ell-1}^{\ell-1}$ коэффициентов. Таким образом,
после разложения каждого слагаемого правой части, в полиноме будет
$$
C_{\ell-1}^{\ell-1}+C_{\ell}^{\ell-1}+C_{\ell+1}^{\ell-1}+\dots+C_{n+\ell-1}^{\ell-1}
$$
мономов. Приведения подобных мономов не произойдет, поскольку каждое слагаемое имеет различные показатели для переменной $ x_1 $. На основании ((:binomial#summy_binomialnyx_koehfficientov одного из равенств для суммы биномиальных коэффициентов)),  последняя сумма сворачивается  в биномиальный коэффициент из теоремы.