!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:polynomial:zero_local ЛОКАЛИЗАЦИЯ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА))
----
==Задачи==
1.
Определить множество значений параметра $ \varepsilon_{} $, при которых полином
$$ f(x)=(x+1)(x+2)\times \dots \times (x+10) + \varepsilon x^9 $$
будет иметь все свои корни вещественными.
2.
Определить количество собственных чисел матрицы
$$
\left( \begin{array}{ccccccc}
2 & 2 & 2 & 2 & \dots & 2 & 2 \\
2 & 3 & 3 & 3 & \dots & 3 & 3 \\
2 & 3 & 4 & 4 & \dots & 4 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 & \dots & 5 & 5 \\
\vdots & & & & \ddots & & \vdots \\
2 & 3 & 4 & 5 & \dots & n & n \\
2 & 3 & 4 & 5 & \dots & n & n+1 \\
\end{array}
\right) \ ,
$$
лежащих на интервале **a)** $ ]-\infty, 0] $, **b)** $ [0_{},1] $, **c)** $ [0,1/2] $.
3.
Доказать, что вещественные корни полинома $ f(x)=x^5+2k\,x^4-2\,x-k $ при $ k>1 $ лежат в интервалах $ ]-1,-1/k [ $, $ ]-2k,-2k-1/(3k) [ $, $ ]1/2,1[ $. Установить асимптотику этих корней при $ k\to + \infty $.
4.
Доказать, что матрица $ A \in \mathbb R^{n \times n} $ устойчива тогда и только тогда, когда матрица
$$ (A+E)(A-E)^{-1} $$
дискретно устойчива.
5.
Доказать, что если полином $ f(x) $ имеет только вещественные и простые корни, то полином
$$ [f^{\prime}(x)]^2 - f^{\prime \prime}(x) f(x) $$
не имеет вещественных корней.