!!§!! Вспомогательная страница к пункту
☞
((:polynomial#simmetricheskie_funkcii_kornej СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОРНЕЙ)).
----
==Формулы Виета==
!!Т!! **Теорема.** //Для корней// $ \lambda_{1},\dots,\lambda_n $ //полинома//
$$ f(x)=a_{0}x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n,\, a_0\ne 0 $$
//справедливы// **формулы Виета**
$$
\sum_{1 \le j\le n} \lambda_j = \lambda_1+ \dots+ \lambda_n= -\frac{a_1}{a_0},
$$
$$
\sum_{1\le j_1
Можно показать, что количество слагаемых в левой части $ k_{} $-й формулы равно
$$ C_{n}^k=\frac{n!}{(n-k)!k!} \ , $$
т.е. числу ((:basics:combinatorics#сочетания сочетаний)) из $ n_{} $ элементов по $ k_{} $ элементов [[В случае простых корней $ \lambda_{1},\dots,\lambda_n $ --- это прямое следствие определения сочетания.]].
**Доказательство** проведем ((:basics:induction индукцией)) по $n$. Для $n=1$ и $n=2$ утверждение теоремы
доказано. Предположим, что формулы Виета доказаны и для степени $n$.
Рассмотрим теперь произвольный полином $(n+1)$-й степени:
$$F(x)= A_0x^{n+1}+A_1x^{n}+\dots+A_nx+A_{n+1} \, . $$
Обозначим его корни $\lambda_1,\dots,\lambda_n,\lambda_{n+1}$. Тогда
$$F(x)\equiv f(x)(x-\lambda_{n+1}) \, , $$
где полином $f(x)$ имеет $n$-ю степень и корни $\lambda_1,\dots,\lambda_n$.
По индукционному предположению, для такого полинома формулы Виета справедливы:
$$f(x)\equiv A_0\left(x^n-\sigma_1x^{n-1}+\sigma_2x^{n-2}-\dots
+(-1)^k \sigma_kx^{n-k} +\dots+ (-1)^n \sigma_n \right) \, ; $$
здесь через $\sigma_1,\dots,\sigma_n$ обозначены левые части
соответствующих формул Виета.
Имеем:
$$ F(x)\equiv $$
$$
\equiv A_0\left(x^n-\sigma_1x^{n-1}+\sigma_2x^{n-2}-\dots
+(-1)^k \sigma_kx^{n-k} +\dots+ (-1)^n \sigma_n \right)(x-\lambda_{n+1})\equiv
$$
используем схему умножения полиномов из решения примера
☞
((:polynomial#obschaja_informacija ПУНКТА)):
$$
\begin{array}{lllllll}
\equiv A_0\big( x^{n+1}&-\sigma_1x^{n} &+\dots &+(-1)^k \sigma_kx^{n-k+1} &+\dots
&+ (-1)^n \sigma_n x & \\
& -\lambda_{n+1}x^n &+\dots&+(-1)^k \lambda_{n+1} \sigma_{k-1}x^{n-k+1}&+
\dots & &+(-1)^{n+1} \sigma_n\lambda_{n+1} \big)
\end{array}
$$
Теперь приравняем коэффициенты полиномов из обеих частей тождества.
$$A_1=-A_0(\sigma_1+\lambda_{n+1}) ,\
A_{n+1}=(-1)^{n+1}A_0 \sigma_n \lambda_{n+1} \enspace , $$
что соответствует утверждению теоремы. При $k\in \{2,\dots,n\}$ получаем
$$A_k=(-1)^k A_0(\sigma_k+\lambda_{n+1} \sigma_{k-1}) \, . $$
Осталось показать, что сумма
$$\sigma_k+\lambda_{n+1} \sigma_{k-1} $$
равна
сумме всевозможных
произведений из $k$ чисел, выбранных из $\lambda_1,\dots,\lambda_n,\lambda_{n+1}$.
Но это действительно так: слагаемые $\sigma_k$ представляют собой произведения
этих корней, не содержащие $\lambda_{n+1}$; любое же произведение из $k$
корней, содержащее $\lambda_{n+1}$, т.е.
$\lambda_{j_1} \times \dots \times \lambda_{j_{k-1}}\lambda_{n+1}$,
содержится в слагаемом $\lambda_{n+1} \sigma_{k-1}$, поскольку
$\lambda_{j_1} \times \dots \times \lambda_{j_{k-1}}$ содержится
в $\sigma_{k-1}$.
♦
!!И!! Биографические заметки о Виете
☞
((:biogr#viet ЗДЕСЬ)).