!!§!! Вспомогательная страница к разделу
☞
((:polynomial ПОЛИНОМ))
----
!!?!! Можно ли использовать ((:polynomial#симметрические_функции_корней формулы Виета)) для решения уравнения?
Выпишем их для полинома $ x^3-3\,x + 1 $:
$$
\left\{ \begin{array}{ccr}
\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3&=&0, \\
\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3&=&-3,\\
\lambda_1\lambda_2\lambda_3&=&-1.
\end{array}
\right.
$$
Из первого уравнения выразим $ \lambda_3 $:
$$ \lambda_3 =- \lambda_1- \lambda_2 \ , $$
подставим в два оставшихся:
$$ -\lambda_1^2-\lambda_2^2-\lambda_1\lambda_2 +3=0, \ -\lambda_1^2\lambda_2-\lambda_1\lambda_2^2+1 = 0 \ . $$
Получили систему из двух уравнений, которую можно решить следующими элементарными соображениями. Представим первое получившееся уравнение в виде:
$$ -(\lambda_1+\lambda_2)^2+\lambda_1\lambda_2+3 = 0, $$
выразим из него $ \lambda_1\lambda_2 $ и подcтавим в последнее уравнение:
$$ -(\lambda_1+\lambda_2)^3+3\,(\lambda_1+\lambda_2)+1 = 0 \ . $$
Если теперь вспомнить, что $ \lambda_1+\lambda_2=-\lambda_3 $, то приходим к уравнению
$$ \lambda_3^3-3\,\lambda_3+ 1=0, $$
абсолютно совпадающему с исходным. Таким, образом, формулы Виета не дают способа решения уравнения; попытки решения системы уравнений Виета иными методами (например, применением ((:dets:resultant#исключение_переменных_в_системе_полиномиальных_уравнений результанта)) ) могут привести даже к усложнению исходной задачи!