!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:polynomial ПОЛИНОМ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ))
----
==Формула Тейлора==
!!Т!! **Теорема.** //Разложение полинома// $ f_{}(x) $ //по степеням// $ x-c_{} $ //имеет вид//
$$
f(x) \equiv f(c)+
\frac{f^{\prime}(c)}{1!} (x-c) + \frac{f^{\prime \prime }(c)}{2!} (x-c)^2+
\dots + \frac{f^{(n)}(c)}{n!} (x-c)^{n}=
$$
$$
=\sum_{j=0}^n \frac{f^{(j)}(c)}{j!} (x-c)^{j} ;
$$
//это тождество называется// **формулой Тейлора** //для полинома// $ f_{}(x) $ //в точке// $ x=c_{} $.
**Доказательство.** Разобьем правую часть тождества
$$
f(x)\equiv A_0+A_1(x-c)+A_2(x-c)^2+\dots+A_n(x-c)^n
$$
на сумму трех полиномов
$$
f(x)=\big(\overbrace{A_0+A_1(x-c)+\dots+A_{k-1}(x-c)^{k-1}}^{:= P(x)}\big)+A_k(x-c)^k+
$$
$$
+(x-c)^{k+1} \big(\underbrace{A_{k+1}+A_{k+1}(x-c)+\dots +A_n (x-c)^{n-k-1}}_{:= Q(x)}
\big) \, .
$$
Теперь вычислим $ k $-ю производную в точке $ c $.
Очевидно, что $\deg P \le k-1$ и $ P^{(k)}(x) \equiv 0 $. Далее, дифференцирование
произведения $(x-c)^{k+1}Q(x)$ произведем с использованием ((:polynomial#proizvodnye_ot_polinoma формулы Лейбница)):
$$\left[(x-c)^{k+1}Q(x) \right]^{(k)}=$$
$$=(k+1)\times \dots \times 2 (x-c)Q(x)+
(k+1)\times \dots \times 3 (x-c)^2Q^{\prime}(x)+\dots+(x-c)^{k+1}Q^{(k)}(x)
\, . $$
При подстановке $x=c$ это выражение обратится в нуль. Следовательно,
$$f^{(k)}(c)=\left[A_k(x-c)^k \right]^{(k)} \Bigg|_{x=c}=k!A_k \ , $$
откуда и следует утверждение теоремы.
♦
Для полинома $ f(x)_{} $ коэффициенты формулы Тейлора (а следовательно и величины производных полинома в точке $ c_{} $) могут быть найдены с помощью обобщения ((:polynomial#sxema_xornera схемы Хорнера)). Прежде всего заметим, что формулу
$$
f(x)\equiv A_0+A_1(x-c)+A_2(x-c)^2+\dots+A_n(x-c)^n
$$
можно переписать в виде
$$f(x)\equiv A_0+(x-c)f_1(x), \quad npu\
f_1(x)\equiv A_1+A_2(x-c)+\dots+A_n(x-c)^{n-1} \ .
$$
Теперь очевидно, что число $ A_{0} $ можно интерпретировать как остаток от
деления $ f_{}(x) $ на $ x-c_{} $, а полином $ f_{1}(x) $ --- как частное при этом делении.
Коэффициенты полинома $ f_{1}(x) $ и значение $ A_{0}=f(c) $ могут быть найдены по
((#схема_хорнера схеме Хорнера)). Далее, заметим, что, в свою очередь, полином $ f_{1}(x) $ можно
переписать в виде
$$f_1(x)\equiv A_1+(x-c)f_2(x), \quad npu\
f_2(x)\equiv A_2+\dots+A_n(x-c)^{n-2} \ .
$$
На основании тех же рассуждений заключаем, что число $ A_{1} $ является остатком
от деления $ f_{1}(x) $ на $ x-c_{} $, а полином $ f_{2}(x) $ --- частным при этом
делении. И снова, для нахождения коэффициентов полинома $ f_{2}(x) $ и числа
$ A_{1} $ можем использовать схему Хорнера. Так, если результатом первого "прогона"
схемы стала таблица
$$
\begin{array}{c|ccccccc}
& a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_{n-2} & a_{n-1} & a_n \\
\hline
c & {\mathfrak b}_0 &{\mathfrak b}_1&{\mathfrak b}_2&\dots &{\mathfrak b}_{n-2} & {\mathfrak b}_{n-1}&
{\mathfrak b}_n
\end{array} \ \
\begin{array}{l}
npu \ {\mathfrak b}_0=a_0, \\
{\mathfrak b}_k = a_k + {\mathfrak b}_{k-1}c,
(1\le k \le n)
\end{array}
$$
то $ A_{0}={\mathfrak b}_n $ и
$ f_{1}(x)\equiv {\mathfrak b}_0x^{n-1}+{\mathfrak b}_1x^{n-2}+\dots+{\mathfrak b}_{n-1} $.
Для нахождения остатка и коэффициентов частного от деления $ f_{1}(x) $ на $ x-c_{} $
достаточно эту таблицу продолжить новой --- второй ---
строкой[[Нулевой строкой считается строка коэффициентов
полинома $ f(x) $.]].
$$
\begin{array}{c|ccccccc}
& a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_{n-2} & a_{n-1} & a_n \\
\hline
c & {\mathfrak b}_0 &{\mathfrak b}_1&{\mathfrak b}_2&\dots &{\mathfrak b}_{n-2} & {\mathfrak b}_{n-1}&
{\mathfrak b}_n \\
c & {\mathfrak b}_0 & \underbrace{{\mathfrak b}_1+c {\mathfrak b}_0}_{{\mathfrak d}_1}&
\underbrace{{\mathfrak b}_2+c {\mathfrak d}_1}_{{\mathfrak d}_2}
&\dots &\underbrace{{\mathfrak b}_{n-2}+c {\mathfrak d}_{n-3}}_{{\mathfrak d}_{n-2}} &
\underbrace{{\mathfrak b}_{n-1}+c {\mathfrak d}_{n-2}}_{{\mathfrak d}_{n-1}}
\end{array}
$$
Закон формирования остается прежним, с теми только отличиями, что на этот раз
за верхнюю строку принимается строка $ {\mathfrak b}_{0},\dots, {\mathfrak b}_{n-1} $ и
количество вычислений уменьшается. Имеем: $ A_{1}={\mathfrak d}_{n-1} $ и
$ f_{2}(x)\equiv {\mathfrak d}_0x^{n-2}+\dots+{\mathfrak d}_{n-2} $ при
$ {\mathfrak d}_0={\mathfrak b}_0=a_0 $. Продолжаем далее по аналогии. Результатом будет
схема
$$
\begin{array}{c|ccccccc}
& a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_{n-2} & a_{n-1} & a_n \\
\hline
c & {\mathfrak b}_0 &{\mathfrak b}_1&{\mathfrak b}_2&\dots &{\mathfrak b}_{n-2} & {\mathfrak b}_{n-1}&
{\mathfrak b}_n \\
c & {\mathfrak d}_0 &{\mathfrak d}_1&{\mathfrak d}_2&\dots &{\mathfrak d}_{n-2} & {\mathfrak d}_{n-1} \\
c & {\mathfrak e}_0 &{\mathfrak e}_1&{\mathfrak e}_2&\dots &{\mathfrak e}_{n-2} \\
\vdots& & & &\dots \\
c & {\mathfrak u}_0 &{\mathfrak u}_1&{\mathfrak u}_2 \\
c & {\mathfrak v}_0 &{\mathfrak v}_1 \\
c & {\mathfrak w}_0,
\end{array}
$$
в которой получившиеся на диагонали коэффициенты и являются искомыми:
$$ A_0={\mathfrak b}_n,\ A_1={\mathfrak d}_{n-1},\ A_2={\mathfrak e}_{n-2},\dots, A_{n-1}={\mathfrak v}_1,
A_n={\mathfrak w}_0=a_0 \ . $$
!!П!! **Пример.** Разложить полином $ -x^{5}+3\,x^4-x+1 $ по степеням $ x_{}-5 $.
**Решение.**
$$
\begin{array}{c|rrrrrrr}
& -1 & 3 & 0 & 0 & -1 & 1\\
\hline
5 & -1 &-2&-10&-50 &-251 & \underline{-1254} \\
5 & -1 &-7&-45&-275& \underline{-1626} \\
5 & -1 & -12&-105& \underline{-800} \\
5 & -1 &-17& \underline{-190} \\
5 & -1 &\underline{-22} \\
5 & \underline{-1}
\end{array}
$$
**Ответ.** $ -1254-1626\,(x-5)-800\,(x-5)^{2}-190\,(x-5)^3-22\,(x-5)^4-(x-5)^5 $.
!!П!! **Пример.** Найти кратность корня $ \lambda_{} = \sqrt{2} $ полинома
$$f(x)=
x^5+ 3\left(1-\sqrt{2} \right)\, x^4+\left(7 -9\,\sqrt{2}\right) \, x^3
+\left( 18-5\,\sqrt{2}\right) \, x^2+6\left( 1 - \sqrt{2} \right) \, x
-2\,\sqrt{2} \ .
$$
**Решение.** Для проверки условий следствия к теореме из
☞
((:polynomial#proizvodnye_ot_polinoma пункта))
последовательно вычисляем
значения полинома и его производных в точке $ x_{}=\lambda $
с помощью схемы Хорнера до тех пор, пока не дойдем до ненулевого:
$$
\begin{array}{r|rrrrrr}
&1 & 3\left(1-\sqrt{2} \right) & 7 -9\,\sqrt{2} &
18-5\,\sqrt{2} & 6\left( 1 - \sqrt{2} \right) & -2\,\sqrt{2} \\
\hline
\sqrt{2} & 1 & 3-2\, \sqrt{2} & 3-6\, \sqrt{2}& 6-2\, \sqrt{2} & 2 & 0 \\
\sqrt{2} & 1 & 3- \sqrt{2} & 1-3\, \sqrt{2} & - \sqrt{2} & 0 \\
\sqrt{2} & 1 & 3 & 1 & 0 \\
\sqrt{2} & 1 & 3+ \sqrt{2} & 3 \left(1+ \sqrt{2}\right)
\end{array}
$$
Итак, $ f(\sqrt{2})=0, f^{\prime}(\sqrt{2})=0,f^{\prime \prime}(\sqrt{2})=0,
f^{\prime \prime \prime}(\sqrt{2}) \ne 0_{} $.
**Ответ.** $ 3_{} $.