!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:polynomial#непрерывность_корней ПОЛИНОМ)) ---- == Дифференцируемость корней полинома как функций коэффициентов == !!Т!! **Теорема.** //Корни полинома// $$ f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n \in \mathbb C[x] $$ //являются непрерывно дифференцируемыми функциями коэффициентов за исключением тех наборов значений коэффициентов, которые определяют кратные корни.// **Доказательство.** Воспользуемся ((:polynomial/vietep формулами Виета)): $$ \sum_{1 \le j\le n} \lambda_j = \lambda_1+ \dots+ \lambda_n= -a_1, $$ $$ \sum_{1\le j_1 ☞ ((:algebra2/dets/jacobian#funkcionalnaja_zavisimost ЗДЕСЬ)) ), что якобиан $$ \frac{D(f_1,\dots,f_n)}{D(\lambda_1,\dots,\lambda_n)}=\prod_{1\le j < k \le n} (\lambda_k-\lambda_j) $$ и отличен от нуля при выполнении условия теоремы. ♦ Условие наличия кратного корня у полинома $ f_{}(x) $ может быть получено в виде явного условия на его коэффициенты. См. раздел ☞ ((dets:discrim ДИСКРИМИНАНТ)) ==Источник== Доказательство существенно переделано из **Шилов Г.Е.** //Математический анализ (функции нескольких вещественных переменных). Части 1-2 //. М. Наука, 1972, c. 80-83