!!§!! Вспомогательная страница к пункту
☞
((:polynomial#делимость_полиномов ДЕЛИМОСТЬ ПОЛИНОМОВ)).
----
==Делимость полиномов (с остатком)==
Пусть $ \mathbb A_{} $ означает какое-то из множеств $ \mathbb Q, \mathbb R $ или $ \mathbb C_{} $.
!!Т!! **Теорема.** //Для полиномов// $ f_{}(x) $ //и// $ g(x)\not \equiv 0 $ //из// $ \mathbb A[x] $
//существует единственная пара полиномов// $ q_{}(x) $ //и// $ r(x) $ //из//
$ \mathbb A[x] $ //таких, что//
$$
f(x) \equiv g(x) q(x) + r(x) \quad \mbox{ и } \quad
\deg r < \deg g \ .
$$
**Доказательство.** Пусть
$$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots +a_n,\ g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1} + \dots + b_m \quad \mbox{ и } \quad a_0\ne 0, b_0 \ne 0 \ .
$$
Если $ n_{}< m $, то можем задать искомые полиномы равенствами:
$ q(x) \equiv 0, r(x) \equiv f(x) $. Если же $ n \ge m $, то рассмотрим
полином
$$f_1(x) = f(x) - \frac{a_0}{b_0} x^{n-m}g(x) \ .$$
Очевидно, что $ n_1 = \deg f_1 (x) < n $. Если $ n_1
♦