!!§!! Вспомогательная страница к пункту ☞ ((:polynomial#делимость_полиномов ДЕЛИМОСТЬ ПОЛИНОМОВ)). ---- ==Делимость полиномов (с остатком)== Пусть $ \mathbb A_{} $ означает какое-то из множеств $ \mathbb Q, \mathbb R $ или $ \mathbb C_{} $. !!Т!! **Теорема.** //Для полиномов// $ f_{}(x) $ //и// $ g(x)\not \equiv 0 $ //из// $ \mathbb A[x] $ //существует единственная пара полиномов// $ q_{}(x) $ //и// $ r(x) $ //из// $ \mathbb A[x] $ //таких, что// $$ f(x) \equiv g(x) q(x) + r(x) \quad \mbox{ и } \quad \deg r < \deg g \ . $$ **Доказательство.** Пусть $$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots +a_n,\ g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1} + \dots + b_m \quad \mbox{ и } \quad a_0\ne 0, b_0 \ne 0 \ . $$ Если $ n_{}< m $, то можем задать искомые полиномы равенствами: $ q(x) \equiv 0, r(x) \equiv f(x) $. Если же $ n \ge m $, то рассмотрим полином $$f_1(x) = f(x) - \frac{a_0}{b_0} x^{n-m}g(x) \ .$$ Очевидно, что $ n_1 = \deg f_1 (x) < n $. Если $ n_1 ♦ В терминологии теоремы полином $ f_{}(x) $ называется **делимым**, $ g_{}(x) $ --- **делителем**, $ r_{}(x) $ --- **остатком** от деления $ f_{}(x) $ на $ g_{}(x) $, а $ q_{}(x) $ --- **частным**[[При $ r(x) \not \equiv 0 $ называют еще и **неполным частным**.]]. При $ r(x) \equiv 0 $, говорят, что полином $ f_{}(x) $ **делится** (**нацело**) на $ g_{}(x) $, а полином $ g_{}(x) $ называется **делителем** $ f_{}(x) $. **Тривиальными делителями полинома** $ f_{}(x) $ называют сам полином $ f_{}(x) $ и полином тождественно равный $ 1_{} $ (оба --- с точностью до домножения на ненулевую константу). Любой другой делитель полинома (если существует) называется **нетривиальным**. !!=>!! Частное и остаток от деления $ f(x) = \sum_{j=0}^n a_jx^{n-j} $ на $ g(x)\equiv x- c $ равны соответственно $$ q(x) \equiv a_0x^{n-1}+(a_0c+a_1)x^{n-2}+(a_0c^2+a_1c+a_2)x^{n-2}+\dots+ (a_0c^{n-1}+a_1c^{n-2}+\dots+a_{n-1})\, , $$ $$ r(x)\equiv f(c) \, . $$ Коэффициенты $ q(x) $ и $ r(x) $ могут быть вычислены рекурсивно по ((:polynomial#sxema_xornera схеме Хорнера)). !!?!! Пусть $ \deg f(x) = n > \deg g(x)=m $. Доказать, что частное от деления $ f_{}(x) $ на $ g_{}(x) $ может быть представлено в любом из двух эквивалентных видов $$ q(x)\equiv - \frac{1}{b_0^{n-m+1}} \left| \begin{array}{lllll} b_0 & 0 & \dots & 0 & a_0 \\ b_1 & b_0 & \dots & 0 & a_1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ b_{n-m} & b_{n-m-1} & \dots & b_0 & a_{n-m} \\ x^{n-m} & x^{n-m-1} & \dots & 1 & 0 \end{array} \right|_{(n-m+2)\times (n-m+2)} \equiv $$ $$ \equiv \left( x^{n-m} , x^{n-m-1} , \dots , 1 \right) \left(\begin{array}{llll} b_0 & 0 & \dots & 0 \\ b_1 & b_0 & \dots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ b_{n-m} & b_{n-m-1} & \dots & b_0 \end{array} \right)_{(n-m+1)\times (n-m+1)}^{-1} \left(\begin{array}{l} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_{n-m} \end{array} \right)\, . $$ Матрица из последней строки --- ((:algebra2#тёплицева тёплицева)). !!?!! Доказать, что если $ f_{}(x) $ и $ g_{} (x) $ --- полиномы с целыми коэффициентами и старший коэффициент полинома $ g_{} (x) $ равен $ 1_{} $, то частное и остаток от деления $ f_{}(x) $ на $ g_{} (x) $ будут полиномами с целыми коэффициентами.