!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:polynomial ПОЛИНОМЫ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ))
----
==Задачи==
1.
((#источники [1])).
Найти полином $ f_{}(x) $ степени $ 7_{} $, такой, что $ f(x)+1 $ делится на $ (x-1)^4 $, а $ f(x)-1 $ делится на $ (x+1)^4 $.
2.
Найти частное и остаток от деления полинома $ a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n $ на $ x^3-x $.
3.
Разложить полином на множители над $ \mathbb Q_{} $:
**a)** $ x^4 +3\,x^3-47\,x^2+43\,x+48 $;
**б)** $ x^4 -\,x^3-6\,x^2+11\,x+5 $.
5.
Пусть $ \deg f(x)=n $. Чему равно выражение
$$f(x)-\frac{f^{\prime}(x)}{1!}x+\frac{f^{\prime \prime}(x)}{2!}x^2-
\dots+(-1)^n \frac{f^{(n)}(x)}{n!}x^n \ ?
$$
6.
Пусть $ f(x)=a_0x^{n}+a_1x^{n-1}+\dots+a_n $. Доказать тождество
$$ f(x)+C_n^1xf^{\prime}(x)+C_n^2x^2\frac{f^{\prime \prime}(x)}{2!}+C_n^3x^3\frac{f^{\prime \prime \prime}(x)}{3!}+\dots+C_n^nx^n\frac{f^{(n)}(x)}{n!} \equiv
$$
$$
\equiv a_n + C_{n+1}^1a_{n-1}x+C_{n+2}^2a_{n-2}x^2+\dots+C_{2n}^{n} a_0 x^n \ .
$$
7.
Доказать, что если полином $ f(x)=x^3+a_1x^2+a_2x+a_3 $ имеет кратный корень кратности $ 2_{} $, то этот корень находится по формуле
$$ \lambda=\frac{9\,a_3-a_1a_2}{2(a_1^2-3\,a_2)} \ . $$
8.
Центром тяжести набора[[Допускаются одинаковые значения.]] $ \{z_1,\dots,z_m\} \subset \mathbb C $ назовем число
$$ \frac{z_1+\dots+z_m}{m} \ . $$
Доказать, что центр тяжести набора корней полинома $ f_{}(z), \deg f =n\ge 2 $ совпадает с центром тяжести набора корней производной $ f^{\prime} (z) $ этого полинома.
9.
**Задача Шлёмильха**. Решить кубическое уравнение $ x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0 $, если его корни составляют:
**a)** арифметическую прогрессию;
**б)** геометрическую прогрессию;
**в)** гармонический ряд.
10
((#источники [2])).
Пусть $ 2m $ последовательных коэффициентов полинома
$$ a_0x^n +a_1x^{n-1} + \dots + a_n, a_0\ne 0, a_n \ne 0 $$
равны нулю. Тогда полином имеет по крайней мере $ 2m $ мнимых корней.
11
((#источники [3])). Доказать, что если $ f(x) $ и $ g(x) $ --- полиномы степени $ \le n $, то полином
$$ f g^{(n)} - f^{\prime} g^{(n-1)}+f^{\prime \prime} g^{(n-2)}+ \dots +(-1)^n f^{(n)} g $$
является константой.
12
. Найти верхнюю и нижнюю границы для положительных и отрицательных корней полинома
$$3432\,x^7-12\, 012\,x^6+16\,632\,x^5-11\,550\,x^4+4200\,x^3
-756\,x^2+56\,x-1 \ .$$
13
. Пусть полином $ f(x)\in \mathbb R[x], \deg f=2n $ имеет только мнимые корни и старший коэффициент положительным. Тогда существуют полиномы $ \{g(x), h(x)\} \subset \mathbb R[x], \deg g=\deg h = n $ такие, что
$$ f(x) \equiv \left[g(x)\right]^2+\left[h(x)\right]^2 \, . $$
Результат обобщается на случай полинома $ f(x) $ неотрицательного при $ x\in \mathbb R $.
==Источники==
[1]. ** Гурса Э.** //Курсъ математическаго анализа. Т.1.// М. Издание торгового дома "В.И.Знаменский и Кº". 1911
[2]. **Полиа Г., Сеге Г.**//Задачи и теоремы из анализа.//Т. 2. М.Наука. 1972, с. 54
[3]. **Чезаро Э.** //Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления
бесконечно малых. Часть I.// М.-Л., ОНТИ, 1936, c.470