!!§!! Вспомогательная страница к разделу ☞ ((:polynomial ПОЛИНОМ)) ---- ==Геометрия полиномов с вещественными коэффициентами== Являясь частным случаем полинома с комплексными коэффициентами, полином с коэффициентами вещественными должен наследовать общие свойства. У полинома $ n_{} $-й степени из $ \mathbb R[x] $ будет $ n_{} $ корней, которые ( как установлено ☞ ((:polynomial#полиномы_с_вещественными_коэффициентами ЗДЕСЬ)) ) на ((:complex_num#геометрическая_интерпретация комплексной плоскости)) составляют множество симметричное относительно вещественной оси. Нас теперь интересует вопрос: каким образом это множество будет меняться, если коэффициенты полинома также будут меняться, оставаясь при этом вещественными? Теорема о ((:polynomial#непрерывность_корней непрерывной зависимости корней от коэффициентов)) гарантирует, что при непрерывном изменении коэффициентов корни также буду меняться непрерывно. Посмотрим, однако, какое влияние на динамику корней оказывает требование симметрии их множества. !!П!! ** Пример.** Для полинома $$ f(x)=x^5-{\color{Red} \alpha }\,x+2 $$ исследовать динамику корней при изменении значений параметра $ {\color{Red} \alpha }_{ } $ от $ -2 $ до $ 4_{} $. **Решение.** На рисунке {{ root_loc_p8.gif |}} показаны следы, "заметаемые" корнями на ((:complex_num#геометрическая_интерпретация комплексной плоскости)). Направления движений указаны стрелками. Сначала посмотрим на начало процесса. При $ {\color{Red} \alpha }=-2 $ полином имеет следующие корни: $$ \lambda_1\approx -0.81747, \ \lambda_{2,3}\approx -0.61116\pm 0.98924 {\mathbf i},\ \lambda_{4,5}\approx 1.01990\pm 0.87707 {\mathbf i} \ ; $$ т.е. один вещественный и две пары комплексно-сопряженных. Эти стартовые точки отмечены отрезками | | | При увеличении значений $ {\color{Red} \alpha }_{} $ от $ -2 $ до $ 5/\sqrt[5]{16} \approx 2.87174 $ происходит "дрейф" корней: "синий", оставаясь вещественным, уменьшается (уходит по вещественной оси влево); "зеленые" корни, оставаясь мнимыми, удаляются друг от друга; а вот "оранжевые" корни начинают сближаться, пока не столкнутся на вещественной оси при указанном значении параметра. Их общее значение $ \lambda_{4,5} = 1/\sqrt[5]{2} \approx 0.87055 $ задает кратный корень полинома. При дальнейшем увеличении значений $ {\color{Red} \alpha } $ "оранжевые" корни, оставаясь вещественными, "расходятся" в разные стороны по вещественной оси. При $ {\color{Red} \alpha }=4 $: $$ \lambda_1\approx -1.51851, \ \lambda_{2,3}\approx -0.11679\pm 1.43844 {\mathbf i},\ \lambda_4\approx 0.5085 \ \lambda_5\approx \ 1.2436 . $$ ♦ **Выводы.** При изменении коэффициентов мнимые корни полинома могут исчезать только парами, при этом, __как правило__, образуются два различных вещественных корня. Обратное тоже верно: пропажа одного вещественного корня возможна только при столкновении его с другим вещественным корнем --- при таком столкновении, __как правило__, происходит аннигиляция обоих корней с образованием пары комплексно-сопряженных. В обоих сценариях, при столкновении корней образуется ((:polynomial#основная_теорема_высшей_алгебры кратный)) вещественный корень; условие его возникновения можно выразить в виде алгебраического уравнения относительно коэффициентов полинома: см. ☞ ((dets:discrim ДИСКРИМИНАНТ)). Теперь займемся анализом графиков вещественных полиномов на вещественной плоскости. Вещественному корню $ x=\lambda $ полинома $ f(x) $ на плоскости $ (x_{},y) $ соответствует точка пересечения графика $ y=f(x_{}) $ с осью абсцисс. Поскольку полином является частным случаем непрерывной и дифференцируемой функции (при всех значениях переменной), то для него будут справедливы все результаты математического анализа для подобных функций. !!Т!! **Теорема [Больцано для полиномов].** //Если полином// $ f(x_{}) $ //принимает значения разных знаков при// $ x=a $ и $ x=b $, //то на интервале// $ ]a,b[ $ //у него имеется по крайней мере один корень//: $$f(a)f(b)<0 \ \Rightarrow \ \exists \lambda \in ]a,b[ \ : \ f(\lambda)=0 \ .$$ !!=>!! При выполнении условий теоремы полином $ f(x_{}) $ имеет нечетное число корней на интервале $ ]a,b_{}[ $ (с учетом ((:polynomial#основная_теорема_высшей_алгебры кратностей)) кратных корней). {{ polynomial:plot_realpoly12-1.gif |}} !!=>!! Если полином $ f(x_{}) $ принимает значения одинаковых знаков при $ x=a $ и $ x=b $, то либо $ f(x_{}) $ вовсе не имеет корней в интервале $ ]a,b_{}[ $, либо число его корней на этом интервале четно (с учетом кратностей кратных корней). {{ polynomial:root_loc123.gif |}} !!=>!! Если степень полинома нечетна, то он имеет по крайней мере один вещественный корень, и, в общем случае, число этих корней нечетно (с учетом кратностей кратных корней); если степень полинома четна, то полином либо не имеет вовсе вещественных корней, либо число этих корней четно (с учетом кратностей кратных корней). !!=>!! Если $$ f(x)=a_{0}x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n, \ \mbox{ и } \ a_0\ne 0, a_n\ne 0 $$ то число положительных корней полинома $ f(x_{}) $ четно при $ a_{0}a_n>0 $ и нечетно при $ a_0a_n<0 $ (с учетом кратностей кратных корней). Почему в каждом из предшествующих результатов, говоря о числе корней полинома, мы учитываем их кратность ? Кратный вещественный корень полинома соответствует точке касания графика $ y=f(x_{}) $ с осью абсцисс. Эту точку касания можно рассматривать как слившуюся из нескольких обычных точек пересечения. Кратность тогда соответствует количеству этих точек пересечения. Поясним на примерах. !!A!! Анимация графика $ y=x^5-t\,x+2 $ при изменении параметра $ t_{} $ ☞ ((polynomial:geometry:animation4 ЗДЕСЬ)) (1560 Kb, gif) Видно, что при возрастании значений параметра $ t_{} $ и прохождении через $ \approx 0.87055 $ точка касания превращается в две точки обычного пересечения. Разберем теперь "обратные" случаи --- когда простые корни сливаются в кратный. !!A!! Анимация графика $ y=x^2+ \varepsilon $ ☞ ((polynomial:geometry:animation5 ЗДЕСЬ)) (530 Kb, gif); $ y=x^3+ \varepsilon x $ ☞ ((polynomial:geometry:animation6 ЗДЕСЬ)) (435 Kb, gif); $ y= x^4+5\varepsilon x^2+4\varepsilon^2 $ ☞ ((polynomial:geometry:animation7 ЗДЕСЬ)) (454 Kb, gif). Параметр $ \varepsilon \in ] -2, 0 [ $. **Выводы.** Кратный вещественный корень чувствителен к изменению коэффициентов полинома: небольшое их "шевеление" приводит к расщеплению этого корня на несколько --- как правило, простых. Количество этих простых корней совпадает с кратностью кратного корня. Не всегда образовавшиеся корни будут вещественными[[Приведенные выше примеры специально подбирались, чтобы проиллюстрировать именно такой сценарий.]]. Однако общее их число --- с учетом мнимых --- всегда будет совпадать с кратностью. Можно образно сказать, что кратный вещественный корень --- это слившиеся до полного "визуального" неразличения точки пересечения графика $ y=f(x_{}) $ с осью абсцисс, количество этих сливающихся точек определяется кратностью корня. ==Корни полинома и его производной== !!Т!! **Теорема [Ферма].** //Если функция// $ F(x) $ //имеет производную во внутренних точках некоторого интервала и в некоторой точке внутри этого интервала достигает наибольшего (или наименьшего) значения, то в этой точке ее производная обращается в нуль.// !!Т!! **Теорема [Ролль].** //Если функция// $ F(x) $ //имеет производную во внутренних точках некоторого интервала и на концах этого интервала принимает одинаковые значения, то ее производная обращается в нуль хотя бы в одной точке этого интервала//: $$ F(a)=F(b) \ \Rightarrow \ \exists c\in ]a,b[ \ : F^{\prime}(c)=0 \, .$$ !!=>!! Между двумя вещественными корнями полинома $ f(x) \in \mathbb R [x], \deg f \ge 2 $ лежит по крайней мере один корень его производной $ f^{\prime}(x) $. !!=>!! Справедливы неравенства $$ \begin{array}{lll} \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \} &\le& \operatorname{nrr} \{ f^{\prime}(x)=0 \} +1, \\ \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} &\le& \operatorname{nrr} \{ f^{\prime}(x)=0 \mid x>0 \} +1. \end{array} $$ Действительно, если предположить $$ K:=\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \} \ge \operatorname{nrr} \{ f^{\prime}(x)=0 \} +2 \, , $$ то $ \operatorname{nrr} \{ f^{\prime}(x)=0 \} \le K-2 $. С другой стороны, по предыдущему следствию, получаем неравенство $ \operatorname{nrr} \{ f^{\prime}(x)=0 \} \ge K-1 $. Противоречие доказывает справедливость первого неравенства. !!?!! Доказать, что если все корни $ f(x) \in \mathbb R [x] $ вещественны, то и все корни любой его производной $ f^{(1)}(x),\dots, f^{(n-1)}(x) $ также вещественны. ==Задачи== ☞ ((:polynomial:geometry:problems ЗДЕСЬ))