!!§!! Вспомогательная страница к разделу
☞
((:polynomial ПОЛИНОМ))
----
==Геометрия корней полиномов с вещественными коэффициентами==
===Комплексные корни==
Являясь частным случаем полинома с комплексными коэффициентами, полином с коэффициентами вещественными должен наследовать общие свойства. У полинома $ n_{} $-й степени из $ \mathbb R[z] $ будет $ n_{} $ корней, которые ( как установлено
☞
((:polynomial#полиномы_с_вещественными_коэффициентами ЗДЕСЬ)) ) на ((:complex_num#геометрическая_интерпретация комплексной плоскости)) составляют множество симметричное относительно вещественной оси. Нас теперь интересует вопрос:
каким образом это множество будет меняться, если коэффициенты полинома также будут меняться, оставаясь при этом вещественными? Теорема о ((:polynomial#непрерывность_корней непрерывной зависимости корней от коэффициентов)) гарантирует, что при непрерывном изменении коэффициентов корни также буду меняться непрерывно. Посмотрим, однако, какое влияние на динамику корней оказывает требование симметрии их множества.
!!П!! ** Пример 1.** Для полинома
$$ f(z)=z^5-{\color{Red} \alpha }\,z+2 $$
исследовать динамику корней при изменении значений параметра $ {\color{Red} \alpha }_{ } $ от $ -2 $ до $ 4_{} $.
**Решение.** На рисунке
{{ root_loc_p8.gif |}}
показаны траектории, "заметаемые" корнями на ((:complex_num#геометрическая_интерпретация комплексной плоскости)) при увеличении значений параметра. Направления движений указаны стрелками. Сначала посмотрим на начало процесса. При $ {\color{Red} \alpha }=-2 $ полином имеет следующие
корни:
$$ \lambda_1\approx -0.81747, \ \lambda_{2,3}\approx -0.61116\pm 0.98924 {\mathbf i},\
\lambda_{4,5}\approx 1.01990\pm 0.87707 {\mathbf i} \ ;
$$
т.е. один вещественный и две пары комплексно-сопряженных.
Эти стартовые точки отмечены отрезками
|
|
|
При увеличении значений $ {\color{Red} \alpha }_{} $ от $ -2 $ до $ 5/\sqrt[5]{16} \approx 2.87174 $ происходит
"дрейф" корней: "синий", оставаясь вещественным, уменьшается (уходит по вещественной оси влево); "зеленые" корни, оставаясь мнимыми, удаляются друг от друга; а вот "оранжевые" корни начинают сближаться, пока не столкнутся на вещественной оси при указанном значении параметра. Их общее значение $ \lambda_{4,5} = 1/\sqrt[5]{2} \approx 0.87055 $ задает кратный корень полинома. При дальнейшем увеличении значений $ {\color{Red} \alpha } $ "оранжевые" корни, оставаясь вещественными, "расходятся" в разные стороны по вещественной оси. При $ {\color{Red} \alpha }=4 $:
$$ \lambda_1\approx -1.51851, \ \lambda_{2,3}\approx -0.11679\pm 1.43844 {\mathbf i},\
\lambda_4\approx 0.5085 \ \lambda_5\approx \ 1.2436 .
$$
♦
Еще один сценарий столкновения комплексных корней иллюстрируется следующим примером.
!!П!! ** Пример 2.** Для полинома
$$
f_{\color{Red} \alpha }(z):=\underbrace{\left( 3-\frac{14497761805093}{23744401950000}{\color{Red} \alpha } \right)}_{
\approx 3 - 0.610576 {\color{Red} \alpha }}{z}^{4}+
\left( 6+\frac{119}{100}{\color{Red} \alpha } \right) {z}^{3}+630\,{z}^{2}+942\,z+
40875
$$
исследовать динамику корней при изменении значений параметра $ {\color{Red} \alpha }_{ } $ от $ 0 $ до $ 1.1 $.
**Решение.** При $ {\color{Red} \alpha }=0 $ корни:
$$
\lambda_{1,2} = - 3 \pm 10 \, \mathbf i,\ \lambda_{3,4}=2 \pm 11\, \mathbf i
$$
(красные квадраты на рисунке).
{{ :polynomial:root_loc.png?200|}}
При увеличении значений параметра корни начинают попарно сближаться (на рисунке комплексно-сопряженные изображены одним цветом). Так, при $ {\color{Red} \alpha }=0.75 $
$$
\lambda_{1,2} \approx -2.073838\pm 10.855665 \, \mathbf i, \ \lambda_{3,4} \approx 0.718151 \pm 11.450983 \, \mathbf i \, .
$$
При значении $ {\color{Red} \alpha }_{c} = \frac{52281252}{51979375} \approx 1.005807 $ происходит одновременное столкновение двух пар корней:
$$
f_{{\color{Red} \alpha }_c}(z)\equiv
\frac{3}{10117414062500}\, \left( 2836601\,{z}^{2}+4278250\,z+371281250 \right)^{2} \,
$$
имеет кратные корни
$$
\lambda_{1,2} \approx -0.754115\pm 11.415813\, \mathbf i\, .
$$
При дальнейшем возрастании значений параметра, каждый кратный корень расщепляется на два простых, которые расходятся в разные стороны. Траектории "до столкновения" и "после столкновения" в точке столкновения перпендикулярны.
При $ {\color{Red} \alpha }=1.1 $:
$$
\lambda_{1,2} \approx -0.982002 \pm 12.412386\, \mathbf i, \ \lambda_{3,4}\approx -0.587553\pm 10.625026 \mathbf i \, .
$$
♦
**Выводы.**
1.
При непрерывном изменении коэффициентов полинома $ f(z) \in \mathbb R[z] $
его корни меняются непрерывно. Более того, если имеется зависимость коэффициентов от единственного параметра $ {\color{Red} \alpha } $ и эта зависимость полиномиальна ($ f(z,{\color{Red} \alpha }) \in \mathbb R[z,{\color{Red} \alpha } ] $) то траектории корней лежат на ((:polynomialm#sluchaj_dvux_peremennyx алгебраических кривых)): при $ z = x+ \mathbf i \, y $ существует некоторый полином $ F(x,y) \in \mathbb R[x,y] $ такой, что при любом значении параметра корни полинома $ \lambda_j = x_j + \mathbf i \, y_j, \{x_j, y_j \} \subset \mathbb R $ удовлетворяют условию $ F(x_j,y_j)=0 $. При этом полином $ F $ будет четным по $ y $ (поскольку должна сохраняться симметрия корней относительно вещественной оси).
2.
Далее, при том же условии полиномиальной зависимости от параметра, графики корней еще и гладкие --- за исключением
некоторых особых точек. Эти особые точки соответствуют кратным корням полинома. И эти корни могут оказаться как вещественными, так и мнимыми. Но в любом случае траектории "входа" в эти особые точки и "выхода" из них будут перпендикулярны.
3.
Исчезновение мнимого корня может произойти только по сценарию когда при некотором значении параметра пара комплексно-сопряженных сталкивается на вещественной оси, образуя ((:polynomial#osnovnaja_teorema_vysshej_algebry кратный)) вещественный корень. Как правило, при проходе этого значения параметра, кратный корень расщепляется на два простых вещественных. Разумеется обратный сценарий --- когда из двух простых вещественных корней порождаются два мнимых --- также принципиально возможен.
4.
Критические значения параметра (параметров), т.е. такие при которых полином имеет кратные корни[[Как, к примеру, значение $ {\color{Red} \alpha }_{c} $ в примере 2.]] могут быть найдены в виде уравнения
относительно этого параметра (этих параметров). Это уравнение будет алгебраическим, если зависимость от параметра (параметров) полиномиальна. См. раздел см.
☞
((dets:discrim ДИСКРИМИНАНТ)).
Необсужденным остался вопрос о множестве корней полинома в случае, когда параметр обнуляет его старший коэффициент.
Очевидно, что в этом случае происходит понижение степени, и как следствие, потеря корня полинома. Куда девается корень полинома если старший коэффициент стремится к $ 0 $? --- Корень "уходит на бесконечность". А вот по каким сценариям: как одиночный, удаляясь по вещественной оси, или же как пара мнимых в комплексной плоскости --- это еще надо анализировать...
===Вещественные корни==
Теперь займемся анализом графиков вещественных полиномов на вещественной плоскости.
Вещественному корню $ x=\lambda $ полинома $ f(x) $ на плоскости $ (x_{},y) $ соответствует точка пересечения графика $ y=f(x_{}) $ с осью абсцисс. Поскольку полином является частным случаем непрерывной и дифференцируемой функции (при всех значениях переменной), то для него будут справедливы все результаты математического анализа для подобных функций.
!!Т!! **Теорема [Больцано для полиномов].** //Если полином// $ f(x_{}) $ //принимает значения разных знаков при// $ x=a $ и $ x=b $, //то на интервале// $ ]a,b[ $ //у него имеется по крайней мере один корень//:
$$f(a)f(b)<0 \ \Rightarrow \ \exists \lambda \in ]a,b[ \ : \ f(\lambda)=0 \ .$$
!!=>!! При выполнении условий теоремы полином $ f(x_{}) $ имеет нечетное число корней на интервале
$ ]a,b_{}[ $ (с учетом ((:polynomial#основная_теорема_высшей_алгебры кратностей)) кратных корней).
{{ polynomial:plot_realpoly12-1.gif |}}
!!=>!! Если полином $ f(x_{}) $ принимает значения одинаковых знаков при $ x=a $ и $ x=b $, то либо $ f(x_{}) $ вовсе не имеет корней в интервале $ ]a,b_{}[ $, либо число его корней на этом интервале четно (с учетом кратностей кратных корней).
{{ polynomial:root_loc123.gif |}}
!!=>!! Если степень полинома нечетна, то он имеет по крайней мере один вещественный корень, и, в общем случае, число этих корней нечетно (с учетом кратностей кратных корней); если степень полинома четна, то полином либо не имеет вовсе вещественных корней, либо число этих корней четно (с учетом кратностей кратных корней).
!!=>!! Если
$$ f(x)=a_{0}x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n, \ \mbox{ и } \ a_0\ne 0, a_n\ne 0 $$
то
число положительных корней полинома $ f(x_{}) $ четно при $ a_{0}a_n>0 $ и нечетно при $ a_0a_n<0 $
(с учетом кратностей кратных корней).
Почему
в каждом из предшествующих результатов, говоря о числе корней полинома, мы учитываем их
кратность
?
Кратный вещественный корень полинома соответствует точке касания графика $ y=f(x_{}) $ с осью абсцисс. Эту точку касания можно рассматривать как слившуюся из нескольких обычных точек пересечения. Кратность тогда соответствует количеству этих точек пересечения. Поясним на примерах.
!!A!! Анимация графика $ y=x^5-t\,x+2 $ при изменении параметра $ t_{} $
☞
((polynomial:geometry:animation4 ЗДЕСЬ)) (1560 Kb, gif)
Видно, что при возрастании значений параметра $ t_{} $ и прохождении через $ \approx 0.87055 $ точка касания превращается в две точки обычного пересечения. Разберем теперь "обратные" случаи --- когда простые корни сливаются в кратный.
!!A!! Анимация графика
$ y=x^2+ \varepsilon $
☞
((polynomial:geometry:animation5 ЗДЕСЬ)) (530 Kb, gif);
$ y=x^3+ \varepsilon x $
☞
((polynomial:geometry:animation6 ЗДЕСЬ)) (435 Kb, gif);
$ y= x^4+5\varepsilon x^2+4\varepsilon^2 $
☞
((polynomial:geometry:animation7 ЗДЕСЬ)) (454 Kb, gif).
Параметр $ \varepsilon \in ] -2, 0 [ $.
**Выводы.** Кратный вещественный корень чувствителен к изменению коэффициентов полинома: небольшое их "шевеление" приводит к расщеплению этого корня на несколько --- как правило, простых. Количество этих простых корней совпадает с кратностью кратного корня. Не всегда образовавшиеся корни будут вещественными[[Приведенные выше примеры специально подбирались, чтобы проиллюстрировать именно такой сценарий.]]. Однако общее их число --- с учетом мнимых --- всегда будет совпадать с кратностью. Можно образно сказать, что кратный вещественный корень --- это слившиеся до полного "визуального" неразличения точки пересечения графика $ y=f(x_{}) $ с осью абсцисс, и количество этих сливающихся точек определяется кратностью корня.
==Корни полинома и его производной==
!!Т!! **Теорема [Ферма].**
//Если функция// $ F(x) $ //имеет производную во внутренних точках некоторого интервала и в некоторой точке внутри этого интервала достигает наибольшего (или наименьшего) значения,
то в этой точке ее производная обращается в нуль.//
!!Т!! **Теорема [Ролль].** //Если функция// $ F(x) $ //имеет производную во внутренних точках некоторого интервала и на концах этого интервала принимает одинаковые значения, то ее производная обращается в нуль хотя бы в одной точке этого интервала//:
$$ F(a)=F(b) \ \Rightarrow \ \exists c\in ]a,b[ \ : F^{\prime}(c)=0
\, .$$
!!=>!! Между двумя вещественными корнями полинома $ f(x) \in \mathbb R [x], \deg f \ge 2 $ лежит по крайней мере один корень его производной $ f^{\prime}(x) $.
!!=>!! Справедливы неравенства
$$
\begin{array}{lll}
\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \} &\le& \operatorname{nrr} \{ f^{\prime}(x)=0 \} +1, \\
\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} &\le& \operatorname{nrr} \{ f^{\prime}(x)=0 \mid x>0 \} +1;
\end{array}
$$
(сокращение $ \operatorname{nrr} $ означает **число вещественных корней**[[number of real roots (//англ.//)]]).
Действительно, если предположить
$$ K:=\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \} \ge \operatorname{nrr} \{ f^{\prime}(x)=0 \} +2 \, , $$
то $ \operatorname{nrr} \{ f^{\prime}(x)=0 \} \le K-2 $. С другой стороны, по предыдущему следствию, получаем неравенство
$ \operatorname{nrr} \{ f^{\prime}(x)=0 \} \ge K-1 $. Противоречие доказывает справедливость первого неравенства.
!!?!! Доказать, что если все корни $ f(x) \in \mathbb R [x] $ вещественны, то и
все корни любой его производной $ f^{(1)}(x),\dots, f^{(n-1)}(x) $ также
вещественны.
==Задачи==
☞
((:polynomial:geometry:problems ЗДЕСЬ))